第 1 章 绪论
1.1 论文的研究背景和意义
本文的主要研究对象是微分形式及微分形式上的算子。算子理论作为调和分析的重要内容一直被广大学者所关注，在众多领域也有着广泛地应用。人们在研究调和分析的前身 Fourier 分析时就发现了算子的作用，通过研究各种算子的性质，Riesz, Hardy 和 Littlewood 等人得到了 Fourier 级数收敛的性质。对调和分析的发展研究有着十分重要的意义，它是解决实变理论的一个核心问题，Lebesgue 积分的微分理论的一个重要工具。另一方面由于 Hardy-Littlewood 极大算子是在平均值意义下取得极大这一特点，它可以作为控制函数联系着其它许多类型算子，了解更多极大函数方面的理论可以参考文献 [2–17]。 Hardy-Littlewood 极大算子在 Lp(Rn) 上的弱型不等式的估计用到的一个主要方法就是 C-Z 分解方法，此种分析方法把一个函数分解为一部分性质“好”的函数和一部分性质“坏”的函数，是发展于一维情形的 Riesz ” 太阳升引理” 的实变方法，近年来在算子的连续性方面有着广泛地应用，本文第二章的证明就极大地依赖着此种分解方法。上世纪 50 年代奇异积分理论的产生，特别是 C-Z 奇异积分理论的提出为近代调和分析的发展和应用带来了新的动力，例如文献 [18–21] 中所述。除了算子的有界性研究外，调和分析的另一个核心内容就是函数空间的研究。 Hardy 空间的实变理论形成于上个世纪 70 年代，参见文献 [24–26]. John 和Nirenberg 首先提出了有界平均振荡空间的概念，对椭圆偏微分方程解的研究起着重要作用。随后 Fefferman 和 Stein 发现有界平均振荡空间就是 Hardy 空间的共轭空间，提出的 Fefferman-Stein 分解揭示了有界平均振荡空间和调和分析的内在关系，因此对于有界平均振荡空间的研究成为调和分析理论的不可或缺的一部分。例如，有界平均振荡空间 BMO 是 Hardy 空间 H1的共轭空间，算子 T : H1→ L1的有界性研究可以通过证明其共轭算子 T : L∞→ BMO 的有界性来完成；有界平均振荡空间的另一个经典应用是：当 1 < p < ∞ 时，许多古典的算子是从 Lp空间到 Lp空间的有界算子，但是当 p = ∞ 时，许多算子的有界性可能就不成立了，作为替代，此时可能得到算子从 L∞空间到有界平均振荡空间的有界性，相关理论可以参考文献 [27–37].
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1.2 国内外研究现状
微分形式自从被 Cartan 提出以来[50]，一直受到学者们的关注，特别是近年来国内外关于微分形式方程解的正则性、微分形式上的算子以及复合算子不等式方面的成果都比较丰富，关于微分形式的相关结果，参考 [51–56].通过 Green 函数方法，微分方程的边值问题的解可以用 Green 函数的积分形式表示出来，从而将微分方程的边值问题转化成积分方程问题。随后人们将 Green 函数推广为满足某种条件的积分算子的核函数，称为广义 Green函数。与仅适用于解不唯一的微分方程的古典 Green 函数方法相比，广义 Green函数法可以处理一些不具有唯一解性质的微分方程。例如文献 [57] 中给出了一种针对解不唯一的偏微分方程的广义 Green 函数的定义。1964 年, Wyler 在文献 [58] 中抽象地归纳了广义 Green 函数相关积分算子的性质，并提出了 Green算子的概念。 奇异积分算子的研究源于 Calderón 和 Zygmund, 1952 年 Calderón 和 Zyg-mund 在文献 [22] 中提出了奇异积分算子的概念，奇异积分算子继承了 Hilbert变换的一些特性，例如与平移是可交换的、与展缩是可交换的。当 1 < p < ∞时， Riesz 用复函数理论证明了 Hilbert 变换的 Lp有界性，但是对于一般的奇异积分算子此方法不再适用。在文献 [22] 中，Calderón 和 Zygmund 发展了 Besicovitch 和 Titchmarsh 证明 Hilbert 变换弱 -(1,1) 不等式的方法，提出了著名的 C-Z 分解，然后应用 Marcinkiewicz 内插定理证明了奇异积分算子的 Lp有界性。
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第 2 章 关于奇异积分算子的几类范数不等式
本章主要研究了微分形式上的奇异积分算子及相关复合算子的范数不等式，主要内容分为两部分：第一部分研究了位势算子 P 在 Hardy-Littlewood 极大算子 Ms以及 Sharp 极大算子 M s作用下的范数估计，包括 Lp范数、BMO 范数和 Lipschitz 范数；第二部分定义了微分形式上的多重线性 Calderón–Zygmund算子，并给出了多重线性 Calderón–Zygmund 算子的端点弱有界性以及多重线性 Calderón–Zygmund 算子作用于 A-调和张量的 Lp范数不等式。
2.1 复合算子 Ms P 的范数比较
文献 [74] 中将位势算子引入到微分形式上，得到了位势算子 P 的加权有界性，在此结果的基础上, 本节主要研究微分形式上复合算子 Ms P 和 M s P的 Lp范数、 BMO 范数、Lipschitz 范数的比较定理。首先给出复合算子中的位势算子 P，Hardy-Littlewood 极大算子 Ms和 Sharp 极大算子 M s的定义。
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2.2 多重线性算子的范数不等式
上一节给出了满足定义 2.1 的奇异积分算子的相关范数不等式，本节将调和分析中的多重线性 Calderón–Zygmund 算子应用到微分形式上，给出微分形式上的多重线性 Calderón–Zygmund 算子的端点弱有界性和 Lp范数估计。本章首先利用微分形式上同伦算子的相关性质，结合位势算子的加权有界性给出了复合算子 Ms P 和 M s P 的 Lp范数有界性，并证明了复合算子的 Lp范数、BMO 范数、Lipschitz 范数比较定理。然后定义了微分形式上的多重线性 Calderón–Zygmund 算子。特别的，当多重线性 Calderón–Zygmund 算子中的指数 m 取 1 时，即退化为第一部分研究的位势算子 P. 本章利用微分形式的相关性质以及 Calderón–Zygmund 分解等实变方法给出了多重线性 Calderón–Zygmund算子的端点弱有界性，为进一步得到多重线性 Calderón–Zygmund 算子的强有界性提供了支撑。针对 A-调和张量，本章还给出了多重线性 Calderón–Zygmund 算子的一个 Lp范数估计，特别的，多重线性 Calderón–Zygmund 算子在外微分作用下的 Lp范数的上界可以从此定理显然得到。
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第 3 章 Hodge-Dirac 算子相关范数不等式.......... 38
3.1 记号与准备工作........ 38
3.2 复合算子 M s D G 的范数不等式 ...... 39
3.2.1 复合算子的范数有界性和 Poincaré 不等式......... 39
3.2.2 复合算子的 Lipschitz 和 BMO 范数不等式.......... 42
3.2.3 复合算子的加权范数不等式和应用.......... 45
3.3 复合算子的广义 Lipschitz 和 BMO 范数不等式......... 54
3.4 本章小结......... 57
第 4 章 Lφ-Lipschitz 范数和 Lφ-BMO 范数不等式 ......... 58
4.1 记号与准备工作........ 58
4.2 同伦算子的 Lφ-BMO 范数、Lφ-Lipschitz 范数、Lφ范数比较定理........ 60
4.3 微分形式的 Lφ-BMO 范数和 Lφ-Lipschitz 范数不等式........ 66
4.4 本章小结......... 72
第 4 章 Lφ-Lipschitz 范数和 Lφ-BMO 范数不等式
作为 Lebesgue 空间 Lp的自然推广，Orlicz 空间被提出以后发展迅速且应用广泛，Orlicz 空间理论在概率论、统计、位势理论、偏微分方程等中都有着重要应用。Orlicz-Hardy 空间在处理许多分析问题时，可以作为 Orlicz 空间的一个很好的替代空间，近年来得到广泛关注。Orlicz-Hardy 空间的共轭空间的研究可以追溯到 Janson 的工作，他推广了古典的 Hardy 空间和 BMO 空间理论，建立了 Orlicz-Hardy 空间和 Orlicz-BMO 空间，并且得到了它们的共轭关系。这些理论的证明与调和分析、Rn上的 Laplace 算子性质有着密切关系。近年来,Ding 等学者也把 Orlicz 函数理论推广到了微分形式上，研究了微分形式上算子或者复合算子的 Orlicz 范数性质[115–118]。受此启发，本章主要研究微分形式上的 Lφ-Lipschitz 范数和 Lφ-BMO 范数估计。
4.1 记号与准备工作
本小结主要介绍一些关于 Orlicz 函数的基本概念以及微分形式上的 Lφ-Lipschitz 范数和 Lφ-BMO 范数的定义。本章给出了微分形式上的Lφ-Lipschitz范数和Lφ-BMO范数的定义。针对同伦算子 T, 在 φ 取 G(p,q,c)-类的条件下得到了其作用于 WRH-类的 Lφ-Lipschitz范数， Lφ-BMO 范数以及 Lφ范数比较定理。在限定 G(p,q,c)-类中的指数满足一定条件后，对于一般的微分形式 φ(|u|) ∈ L1loc( ), 得到了 T u 的 Lφ-BMO 范数估计。同时也推广了共轭 A-调和张量的的比较定理，给出了共轭 A-调和张量的 Lφ-BMO 范数比较估计。本章最后针对一类特殊的 Young 函数，用微分形式的 Lp范数控制了微分形式的 Lφ-Lipschitz 范数和 Lφ-BMO 范数。
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结 论
微分形式上的算子理论作为近些年发展起来的前沿方向, 由于起步较晚，工具较少，研究还很不完善，仍有许多基础的、有意义的问题待解决。特别的，函数是特殊的微分形式，其上的许多方法不能应用于微分形式理论的研究。所以本文针对调和分析和偏微分方程中的若干经典算子, 给出了作用于微分形式的相关算子的有界性估计及经典不等式。推广了经典的 Lipschitz 范数和 BMO范数的定义，在更一般的范数下得到相关算子的范数估计。获得的主要创新成果如下:
1、利用位势算子的加权有界性证明了形式更为复杂的复合算子 Ms P和 M s P 的强有界性与 Lipschitz 范数、BMO 范数比较定理。应用同伦算子和 Green 算子相关引理证明了复合算子 D G 在 Sharp 极大算子作用下的有界性和 Lipschitz 范数、BMO 范数比较定理，并建立了相应的加 A(α,β,γ, ) 权和加 Ar,λ( ) 双权范数不等式。应用得到的复合算子范数不等式，给出了 K-拟正则映射等一些具体的微分形式在复合算子作用下的范数估计。
2、将多重线性 Calderón-Zygmund 算子引入到微分形式上，通过微分形式的运算性质，Chebyshev 不等式以及 Calderón–Zygmund 分解等方法给出了多重线性算子的端点弱有界性，为证明多重线性算子的强有界性提供了有力支撑。定义了球上的多重线性 Calderón-Zygmund 算子，针对 A-调和张量，给出了型如 u uB的多重线性算子的 Lp范数估计。上述结论可以用于讨论多重线性算子相关复合算子的范数不等式。
3、当s取1时，BMOs范数和locLipsα范数即为经典的B-MO 范数和 Lipschitz 范数。在新的范数下建立了复合算子 Dk Gk和 Dk+1 Gk的 BMOs范数和 locLipsα范数比较定理。
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参考文献（略）