第 1 章 绪论
1.1 课题背景及意义
反问题已经在自然科学和工程技术中得到了广泛的应用，同时也引起了应用数学家、统计学家以及工程师的极大关注。近几十年来，反问题的研究领域经历了爆炸式的发展，有关这方面的研究也呈现出越来越火爆的趋势。其中部分原因是由于反问题在其他学科与众多工程技术领域的实际应用中展现出来的重要性，例如生物医学成像、地震成像、地下水流模拟、模式识别、大气测量等，都需要切实解决实际的反问题。另一部分原因是由于功能强大的计算机以及快速可靠的数值计算方法得到了迅猛的发展，它们都对反问题的求解进程起到了加速的作用。
在众多的工程问题、技术科学以及数学科学中出现了各种各样及各具特色的反问题，其中以分布参数估计问题最具代表性。分布参数估计问题是指基于一个物体或介质的间接测量数据，来对这个物体或介质的物性参数进行估计。例如，医学计算机断层成像是对通过体内的 X 射线进行测量，来成像身体内部的组织结构。地震勘探是对产生于地表的振动测量数据进行测量，来识别地下的地质构造。地下水流模拟是对沉浸于地下储水层中的流体的压强进行测量，来估计地下储水层的材料参数。在上述实例中，测量数据与待测物性参数均没有直接关联。然而，不幸的是，测量数据中的少量噪音可以导致所估计待测物性参数中的巨大误差。这种不稳定的现象，从数学的角度就称之为不适定性。为了处理这种不适定性，被称为正则化方法的数学技术因此得到了广泛的发展。
在油藏数值模拟中，分布参数估计问题始终占据着非常重要的位置。为了开采石油和天然气，需要在储层中钻入油井，其中一部分油井用来开采石油，另一部分油井用来注入水和气体以提供压力支持。但是，油井的钻入和运营需要花费较大，所以，通过事先对其进行分布参数估计，以达到对储层中油井的数量、位置以及运行进行优化的目的，是极其可取的。
石油主要被用作燃油和汽油，迄今为止仍然是世界上最重要的能源之一，其在气候变迁、环境标准、汽油价格以及其他因素等方面引起了全球的共同关注，石油本身也已经成为了一个饱受争议的话题。由于油藏动态和石油开采所基于的假设经常与实际情况并不相符，所以，并非所有出现在学术论文中的方程都能保证完全正确，这些方程也只是基于所使用的假设而已。
1.2 非线性扩散方程渗透率反演问题及主要困难
零重力效应下，多孔介质中二相不可压缩流体不可混合流的模型可以用下述偏微分方程系统来描述：
这里 表示孔隙度，S 表示润湿相流体饱和度，K 表示绝对渗透率，μ 表示流体粘度，k 表示相对渗透率，p 表示润湿相流体压力，s 表示流体源项，P 表示毛细管压力。下标 w 和 n 分别代表润湿流体相和非润湿流体相，而上标一撇表示求导运算。
基于上述方程组(以及它们更细致的版本，包括格外的物理效应)的油藏数值模拟，是一个标准的工具，以帮助做出关于油气藏管理方面的重要决定，比如开采方式类型的选择，流体生产和注入速率的选定，以及油井位置的选取。
系数函数 (x)，K(x)，kw(S )，kn(S ) 和 P(S ) 在不同的多孔介质有所不同，并且非常难于去直接测量。根据可测量的储层量，例如井压力和流动速率，来推测这些函数，就构成了一个庞大的分布参数估计问题。通常情况下，根据系数函数自变量的不同，此类问题大体上可被分为两类，一类是估计空间依赖函数，另一类是估计饱和度依赖函数。其中，空间依赖函数之一 K(x) 的分布参数估计方法的研究尤为重要。
第2 章 非线性扩散方程正演模拟的隐式有限差分法
2.1 引言
评估不确定性和历史拟合的需求日益增长，从而越来越需要对多个似然地质模型进行更加快速和精确的流体数值模拟。但是，传统的油藏模拟器无法满足这一需要，在石油工业中似乎也出现了以简化方程来进行油藏数值模拟的趋势。基于这些简化方程的油藏数值模拟在油气勘探、油气藏管理等领域中具有重要的作用。本章所考虑的非线性扩散方程作为这些简化方程的其中之一，可以用来描述多孔多相介质中的流动过程，基于该方程的正反演问题在油藏数值模拟中有着广泛的应用，因此开展非线性扩散方程正反演的研究兼具理论意义和实用价值。正演问题是反演理论的基础和重要组成部分，稳定有效的正演数值算法对反演方法的探索研究起着至关重要的作用。为此，本章旨在对非线性扩散方程正演数学模型进行描述，并构造行之有效的隐式有限差分数值算法，为后续的反演数值计算做好铺垫。
2.2 数值模拟
为了测试隐式有限差分算法的有效性，本节分别以非线性扩散方程(2-1) 和 (2-2) 为具体模型方程，针对两个相对简单的渗透率场进行数值模拟。
算例 2.1 在本算例中，使用的模型方程为 (2-1)，并且 N(u) = u2+ u + 1.渗透率场选取为渗透率值恒为 5 的均匀层状模型，如图 2-1 所示。图 2-2 展示了最后一个时间层上的解 u，即 u30.
数值实验表明，在相同的参数设置下，用隐式有限差分数值解法所得到的数值结果与文献中通过有限元数值解法得到的数值结果完全符合，从而证明了所提出正演算法的正确性和有效性。通过对各种不同的非线性函数N 和渗透率场进行多次正演模拟，发现它们都可以验证其有效性。
第3 章 非线性扩散方程渗透率反演的小波多尺度方法.......................... 20
3.1 引言.................... 20
3.2 反演模型及正则化高斯-牛顿方法.................. 21
第4 章 非线性扩散方程渗透率反演的小波多尺度-自适应同伦方法......... 39
4.1 引言............ 39
4.2 自适应同伦反演方法 ................... 40
第5 章 非线性扩散方程渗透率反演的多重网格多尺度方法 ................... 61
5.1 引言................... 61
5.2 多重网格多尺度反演方法 .......... 62
第6 章 多重网格多尺度方法在波动方程速度反演中的应用
6.1 引言
非线性波动方程可以用来近似描述地下介质中的地震波传播过程，基于该方程的速度反演问题与非线性扩散方程渗透率反演问题一样，在油藏数值模拟中同样有着非常广泛的应用，所以开展非线性波动方程速度反演问题的研究同样兼顾理论与应用的双重价值。
地震勘探业的不断发展和日益增长的市场需求促使波动方程速度反演问题吸引了越来越多的关注，再加之计算机运算速度、存储容量的提高为学者们奠定了坚实的硬件基础，这就使得大量新颖、实用、有效的反演方法得以涌现。比如说人们提出了信赖域反演方法、广义脉冲谱反演方法、正则化同伦反演方法、小波多尺度反演方法、小波多尺度-同伦混合反演方法等等。
上一章中指出，不同于基于频域尺度分解理论的小波多尺度方法，基于网格尺度分解理论的多重网格方法并不要求正演模型中是否有源函数的参与，所以，从理论上来说，多重网格多尺度方法比小波多尺度方法的适用性更强，应用范围更加广泛。并且，对于波动方程速度反演问题来说，小波多尺度反演方法已经被证明是有效的，因此，多重网格多尺度反演方法从理论上可以被轻易地用来求解波动方程速度反演问题。
类似于非线性扩散方程渗透率反演问题，波动方程速度反演问题也存在着诸如计算复杂度较大、局部极值较多、不适定性等方面的困扰。一方面为了解决上述的诸多困扰，另一方面为了验证多重网格多尺度反演方法的普适性，本章将把上一章中所构造的多重网格多尺度反演方法应用到波动方程速度反演问题上来，并通过随后的数值模拟验证了该算法的有效性，进而得出结论：多重网格多尺度反演方法的确不失一般性，可以应用至诸多参数识别反演问题中。
结 论
非线性扩散方程可以用来描述多孔多相介质中的流动过程，基于该方程的渗透率反演问题在油藏数值模拟中有着广泛的应用，因此开展非线性扩散方程渗透率反演的研究兼顾理论与应用的双重价值。本文从非线性扩散方程渗透率反演问题出发，针对传统反演方法计算量较大、易受局部极值影响、抗噪能力不强等缺陷，设计了基于频域尺度分解理论的小波多尺度反演方法和基于网格尺度分解理论的多重网格多尺度反演方法以克服上述诸多缺点。同时将多重网格多尺度反演方法应用到在地震勘探中具有重要意义的波动方程速度反演问题中。主要创新成果如下：
1、设计了小波多尺度方法反演非线性扩散方程中的渗透率系数，该方法利用小波将原始反演问题依照频域尺度分解成若干子反演问题，并从最大尺度到最小尺度逐次求解各个子反演问题，从而使搜索方向有效地避开了原始反演问题自身存在的众多局部极值。由数值算例可得，小波多尺度反演方法是一种收敛域大、收敛速度快，并且具有一定去噪能力的反演算法。
2、为了进一步扩大小波多尺度反演方法的收敛域，通过引入自适应同伦方法，设计了小波多尺度-自适应同伦混合反演方法。这种混合反演方法以小波多尺度方法为基础，采用自适应同伦方法求解最大尺度上的子反演问题，使得小波多尺度方法和同伦方法彼此融合，互相取长补短。数值算例验证了这种混合反演方法能同时兼顾两种方法各自的优点。
3、设计了基于网格尺度分解理论的多重网格多尺度方法反演非线性扩散方程中的渗透率系数，该方法动态调整不同网格上的目标泛函使其彼此相容，从而满足单调收敛的必要条件，并且对方法的收敛性进行了证明。数值算例验证了该方法速度快、精度好、抗噪性强。
4、针对在油藏数值模拟中同样有着广泛应用的波动方程速度反演问题，设计了多重网格多尺度方法。最后，数值算例验证了多重网格多尺度反演方法不仅速度快、精度好、抗噪性强，而且适用范围非常广泛。
总之，本文研究的多尺度反演方法解决了非线性扩散方程渗透率反演问题中存在的一些问题，并且这些方法是不失一般性的，因此可以应用到其他类型的反演问题中。
参考文献（略）