第 1 章 绪论
1.1 题目的来源及意义
耦合系统自 20 世纪 70 年代以来已经成为一个很热门的研究方向，它和诸如神经元、激光、生物系统和气候系统等许多学科都有密切的关系 。在耦合系统中可以观测到很多复杂的动力学行为，比如：同步现象、振子聚合现象以及多稳定态共存现象等。
早在 17 世纪，Huygens 就观察到了同步现象并且给出了理论上的详细描述。他发现在同一个支撑架上的两座钟的钟摆经过一段时间以后会精确地进行反相的同步摆动。在这一发现后的第三年，即1658年，来自乌德勒支的钟表商 Coster 根据 Huygens 的专利设计出了每周误差不超过八分钟的钟。19 世纪中叶，Rayleigh 发现了声学系统中存在一个有趣的事实：当相距不远的两架管风琴同时演奏时，会出现各种意想不到的现象，比如，有时一架管风琴的演奏会使另一架的声音减弱甚至消失，有时尽管演奏不同曲目但两架管风琴的声调变得完全一致。上述两个现象中的前者对应耦合系统中的振幅死亡现象，后者对应耦合系统中的完全同步现象。1920 年，Eccles 和 Vincent 发现并研究了三级管信号发生器中的同步现象。时至今日，关于同步问题的研究已经成为非线性学科中一个非常前沿而且活跃的方向，研究过程中产生的诸多结果也被应用到多种自然科学领域 。
系统的耦合结构可以明显地改变单个振子的动力学行为，比如在耦合系统中出现的振幅死亡现象和不同时空振动结构等。对耦合系统的理论研究有两个主要因素：一个是单个振子的描述，另一个是系统的拓扑结构。耦合系统的拓扑结构可以有多种形式，比如局部耦合结构、全局耦合结构、非局部耦合结构、随机耦合结构等。单个振子理论上一般可描述为极限环振子]或者对其约化后得到的相位振子，即 Kuramoto振子。
1.2 研究现状及分析
时至今日，耦合系统的研究已经应用到多种自然学科中,例如文献都对具有特定拓扑结构的耦合系统进行了研究。其中，2001年，Strogatz 在一篇经典的综述文献中对耦合系统构成的复杂网络进行了全面的描述，分别以食物链网络、纽约电网网络和哺乳动物细胞网络为例对实际问题中的耦合网络模型进行了阐述。在对实际问题进行抽象后，作者在理论上总结出两类耦合系统模型：相同振子组成的模型和不同振子组成的模型。
对一些单个结点相对复杂的系统进行研究主要集中于相同振子组成的模型，比如文献中研究的 Peskin 模型，或是理论上描述稳定周期振动的Stuart-Landau 方程，即极限环振子模型：
其中，z(t) 取复值描述了固有频率为 ω 的振子在 t 时刻的位置，振动的振幅由 γ所决定。极限环振子模型可以看成是一个具有周期振动的系统在上临界 Hopf分支点附近的规范型，所以理论上常常用此模型来描述具有周期振动的系统。文献[16,19,26,64,66–69]都对极限环振子进行了研究，其中，文献研究了两个具时滞耦合的极限环振子的动力学行为；文献 [19] 研究了耦合极限环振子系统中由于时滞引起的振幅死亡现象；文献研究了分别具有线性和非线性反馈控制的极限环振子的动力学行为；文献 [66] 给出了具有中立型反馈控制的极限环振子模型的局部和全局分支分析；文献 [67] 对具有时滞反馈控制 z(t?τ)的极限环振子进行了分支分析；文献[68]研究了时滞的存在对极限环振子Hopf分支的影响；文献 [69] 研究了具时滞耦合极限环振子系统因双 Hopf 分支产生而引起的周期和拟周期振动行为；文献 [64] 研究了带有反馈项
的 n 个极限环振子组成的环状网络，模型中考虑每个振子左右两侧相邻振子对其具有不同耦合作用的情形。可以看出，对极限环振子的理论研究有助于定性地给出一些复杂的耦合系统的动力学行为。
第 2 章 带有中立项局部耦合极限环振子的分支分析
本章主要研究具时滞的最邻近耦合极限环振子组成的环状系统，在这类系统中只考虑圆周上均匀分布的相邻振子之间的耦合作用。借助稳定性研究和分支分析方法，讨论系统的时空动力学行为，研究同步、反相、锁相Hopf分支以及双 Hopf 分支。为了使结果更加具有一般性，耦合作用被设定为包含两个部分：一般时滞反馈项和中立型时滞反馈项。
本章将采用多尺度方法对环状耦合系统进行分支分析，给出系统的各种时空分支规范型，进一步得到系统的动力学行为。本章考虑系统的拓扑结构如图 2-1 所示，其中图 2-1 a) 展示的是双向耦合系统的结构，图 2-1 b) 展示的是单向耦合系统的结构。对二者的研究方法几乎是完全相同的，因此，本章将主要针对前者进行研究。
2.1 单个振子的 Hopf 分支
为了研究耦合系统的分支行为，首先研究具中立型反馈控制的极限环振子模型，在后续的分析中，这部分内容将起到至关重要的作用。考虑方程
方程 (2-1) 中，z(t) 是复变量，m 是非零常数, n > 0 是振子的固有频率，γ > 0 与m 一同决定了振子的振幅，k 和 k0都是反馈增益系数。要求中立反馈增益 k0满足|k0| < 1 , 以使方程的线性部分构成一个稳定的 D 算子。
2.2 耦合系统的数值模拟
下面针对前文的理论分析给出一些数值结果。
当 N = 3 时，系统 (2-6) 由3 个振子构成，相应的特征方程为
本章主要研究了具有环状拓扑结构的局部耦合系统的分支行为。模型中的每个节点由一个极限环振子描述，因此，本章的研究更具一般性，同时可以直接地应用到高维的具环状耦合结构的系统中。对一族 HR 神经元方程模拟后所得结果和理论研究预测的一致，系统中出现了同步、锁相和反相的时空周期振动模式。
本章研究的非局部时滞耦合振子模型描述的是分布在单位圆上的若干个振子，具有时滞和强度都依赖于振子间距离的耦合作用。这里的时滞可以是反应时滞，也可以是传输时滞，或者两者同时存在。对这样的系统进行稳定性和分支分析有助于得到系统中振子的振幅死亡区域。所谓振幅死亡是指系统稳定到平凡平衡点的行为。当参数发生变化并穿过振幅死区的边界时，振子会产生具有某种时空结构的震荡，同时经历与时空变量有关的某种分支。
一个具有非局部耦合结构的系统如图 3-1 所示，振子间的距离越远，耦合强度越弱。下面两个图分别表示带有自反馈和不带有自反馈的网络结构。不失一般性，假设 n 个振子均匀地分布于单位圆周上，那么两个振子间的距离可用相应的夹角表示。
第3 章 非局部耦合极限环振子的分支分析 ............... 28
3.1 非局部时滞耦合系统的振幅死区.................. 29
3.1.1 特征方程..................... 30
3.1.2 振幅死区............................. 31
第4 章 两族具时滞的全局耦合 Kuramoto振子的分支分析........................ 46
4.1 OA 流形约化方法 ......................... 46
4.2 两族 Kuramoto 振子的 OA 流形约化 ................... 48
4.3 稳定性和 Hopf 分支 ........... 51
第5 章 具分布时滞的全局耦合 Kuramoto振子族的分支分析 .................... 62
5.1 模型简介................. 62
5.2 具分布时滞 Kuramoto 模型的 OA 流形约化.................. 63
第5 章 具分布时滞的全局耦合Kuramoto振子族的分支分析
本章给出具分布时滞的 Kuramoto 振子模型中的 Hopf 分支方向和分支周期解稳定性的理论研究方法，从而揭示耦合系统中的部分同步状态是如何从无序状态中分支出来的。为便于应用，选取时滞来自于五种不同分布总体的情形，分别为退化的 δ 分布、均匀分布、[0,+∞) 上的 Gamma 分布、正态分布以及带有最小正时滞的 Gamma 分布。在这类带有分布时滞的方程中，稳定性研究和分支分析一般都比较困难 ，本章将用一些理论分支图来展示 Kuramoto 系统中存在的大量分支行为，采用的方法是特征方程根的分布分析和临界点附近中心流形约化方法。
5.1 模型简介
上一章讨论了存在常数时滞的 Kuramoto 振子模型，事实上更具实际意义的是把时滞看成服从某种概率分布的情形。在文献 [56] 中，作者发现分布时滞的方差能够明显地改变系统的动力学行为，该文章采用的方法是 OA 流形约化方法 [57] 和数值模拟方法。通过对 Kuramoto 系统的仿真观察到了均值域上的上临界和下临界分支。在这样具有分布时滞的Kuramoto系统中，目前仍未发现研究分支性质通用的方法。本章拟对这一问题进行深入研究，考虑模型
结 论
通过研究耦合极限环振子和耦合 Kuramoto 振子，本文对具时滞耦合系统的分支问题进行了广泛的研究，通过推导系统在分支点附近的规范型，得到了随时滞和耦合强度等参数变化时系统动力学行为的变化。
针对耦合极限环振子系统，分别研究了局部耦合和非局部耦合两种情形。分支参数主要选择为振子的固有频率、耦合增益以及耦合时滞。局部耦合系统的分支研究结果表明：随着中立型反馈增益的增加，Hopf 分支或者等变 Hopf分支一定会在时滞系统中发生，从而产生各种同步、反相、锁相、拟周期的时空振动模式。采用 HR 神经元搭建了一个局部耦合系统，发现理论上得到的结果在 HR 耦合系统中同样会发生，因而验证了结果的普适性。对非局部耦合系统的研究采用的是耦合强度依赖于圆周上振子间距离的模式进行的。当耦合强度非齐次性很弱时，系统的振幅死区与全局耦合系统的振幅死区是相同的。而当耦合强度非齐次性较强时，系统的振幅死区明显变小。在振幅死区边界上，系统会经历 Hopf 分支、等变 Hopf 分支以及双 Hopf 分支，同时给出系统出现同步、反相、锁相的周期或者拟周期时空振动模式的结论。此外，针对非局部耦合极限环振子系统，还讨论了耦合增益初相位的影响，发现随着这一参数偏离零点，振幅死亡区域明显缩小。为了验证所得的理论结果，分别针对 BVDP 模型和Lorenz模型建立了非局部耦合系统，同样观测到了类似于耦合极限环振子系统中的现象。
针对耦合 Kuramoto 振子系统，首先应用 OA 流形约化方法研究了两族振子组成的时滞耦合系统并将结果推广至由多族振子组成两层网络的情形。对系统进行约化后得到了以两个复值序参数为状态变量的泛函微分方程。在两族其他参数均被固定的系统中，对整体动力学行为起决定作用的是振子族间耦合强度的乘积，当这一乘积增大至超过某些临界值时，原本无序的系统会出现部分同步状态。通过推导分支规范型得到了分支方向和分支周期解的稳定性。本文研究的另外一个关于 Kuramoto 振子的模型考虑了振子间耦合时滞的非齐次性，当时滞服从某一概率分布时，应用 OA 流形约化方法得到了一个具有分布时滞的泛函微分方程，推导了系统从无序状态中分支出部分同步状态的分支规范型。理论上解释了耦合系统中著名的 hysteresis 现象，即在下临界分支附近，系统会出现稳定的无序状态和稳定的部分同步状态共存。
参考文献（略）