第 1 章 绪论
1.1 课题的背景及其研究意义
1.1.1 课题的来源
特征值配置问题的研究始于 20 世纪 60 年代，由 Wonham[1] 于 1967 年最先提出。该问题很快引起了学术界的广泛关注和浓厚兴趣，早期的研究集中于开环特征值的完全配置，该问题引起了众多学者的普遍关注。经历的近 30年的努力，特征值的完全配置问题在理论和算法两个方面都取得了丰硕的研究成果，具代表性的文章有以及专著， 然而在解决实际工程问题时，开环系统矩阵中仅有个别特征值是我们需要改变的。例如在桥梁结构的设计中，开环特征值中只有小部是共振现象的诱因，因此通过外力改变开环特征值的部分结构显得尤为重要且具有更为广泛的应用价值。有关二阶控制系统部分特征值配置问题的研究始于 20 世纪 90 年代，在二十余年的发展中人们不仅改进和丰富了其理论成果，还给出了很对行之有效的算法，有兴趣的读者可以参阅文章。
有关高阶控制系统的部分特征值配置问题，直到最近几年才受到关注，目前成果较少。Ramadan等基于系统矩阵与开环特征向量间的正交关系给出了保证系统部分特征值配置无溢出性的充分条件，进而给出了高阶系统单输入状态反馈控制部分特征值配置的算法。Cai 等研究了高阶控制系统部分特征值配置及鲁棒性问题，使得系统的动力性能得到改善。
1.2 状态反馈特征值配置问题的研究进展
六十年代中期，Wonham给出了能控性的概念，有关特征值配置问题的研究由此展开。经历的几十年的发展，控制系统特征值配置问题的研究获得了突破性进展并逐渐受到重视。对系统特征值配置问题的研究正呈现出一种增长的趋势。下面概述前人在理论和算法方面取得的结果，并对现存的有关状态反馈特征值配置问题的文献做一个较为全面的综述。按照系统的阶数可将研究的内容划分为以下三部分。
1.2.1 一阶控制系统
1972 年， Perter 等发展了模型控制法，使其可以应用于一阶状态空间，有关一阶系统特征值配置问题的研究由此展开。考虑如下一阶控制系统
此时系统 (1-1) 的性质将由矩阵束 (A- BK) 的性质来决定。标准特征值配置问题就是寻求状态反馈矩阵 K，使得矩阵束 (A? BK) 具有预先指定的特征值。
实现一阶系统状态反馈部分特征值配置的算法主要有古典法、直接法、特征向量法和矩阵方程法。以上方法中，古典方法是通过将系统矩阵化为一个或多个输入输出系统进而达到特征值配置的目的，该方法的应用最为普遍，但求解效率不高且数值稳定性差。矩阵方程法需要求解 Sylvester 矩阵方程 AX -XF = BG，其中 F 为对角矩阵，求解时要求开环系统 A 的特征值不被重复配置，并且反馈矩阵 K 受到矩阵G 的约束。Petkov，Miminis 和 Paige 等人提出的直接法是迄今为止实现特征值配置的效率最高并且数值稳定性好的方法，该方法通过酉变换将系统化为规范形，在酉变换下实现特征值配置。特征向量法通过在满足条件的特征向量空间中选取最优特征向量来优化闭环系统的谱范数，尽管求解过程耗时，但优化性能较高，有效算法可参阅。
然而在实际工程问题中，系统矩阵的开环特征值中仅有一小部分是我们不希望出现的。因此通过外力改变开环特征值的部分结构显得尤为重要且具有更为广泛的应用价值。按照所需配置特征值的个数划分，该类配置问题可以分为完全配置问题和部分配置问题。完全配置问题中反馈矩阵 K 的存在唯一性在文献中给出，解法可参见文献. 由于特征值的完全配置是部分特征值配置的特例，因此本文中我们更关心的是部分特征值配置问题。
第 2 章 高阶线性系统状态反馈部分特征值配置
2.1 引言
考虑如下的高阶系统
在实际的工程应用领域中，上述控制系统的应用极为广泛。主要包括大型挠性空间结构控制、液体力学、结构力学与声系统、地震工程、电路模拟、多柔体系统控制、阻尼陀螺系统、机器人控制设计以及结构动力学中的震动分析等。
对 (2-1) 做变量分离 v(t) = xeλt, 其中 x 为常数未知向量, 得高阶特征值问题
为 K 阶矩阵束。这样，我们将高阶系统特征值问题转化为多项式矩阵问题的研究。有关高阶线性系统特征值问题的求解理论及数值算法在个别文献中已有描述，但所涉及的方法计算复杂、耗时久。有兴趣的读者可参阅文章. 特别地，标准特征值问题 Ax = λx 是 (2-3) 的特殊形式。
高阶特征值配置问题是人们研究高阶系统首先需要考虑和解决的问题。本章将适用于二阶系统的混合法进行推广，建立高阶控制系统部分特征值配置的混合方法，该方法在仅用到系统的响应值，无需系统矩阵的信息情况下便可实现部分特征值配置。
2.2 单输入状态反馈部分特征值配置
本节研究单输入高阶系统部分特征值配置问题，将部分特征值配置问题转化为矩阵方程求解问题。在此基础上，给出一个适用于高阶系统的简单、高效的部分特征值配置算法。
2.2.1 单输入问题的解
当系统为单输入时，问题 2.1 的解是唯一的。Ramadan 等对问题 2.1 展开了研究，给出了实现部分特征值配置的算法，但文中反馈向量 β 的求取过程需要多重迭代，求解较为复杂。本文中我们借助 Sherman-Morrison 公式，通过解矩阵方程来求取反馈向量 β，较之文[12] 的方法具有计算量小，求解过程简单，应用方便等特点。下面详细介绍该方法的基本原理和求解步骤。
无溢出性是实现有关部分特征值配置问题的基础，为了保证特征值配置的无溢出性，首先给出下面的引理：
第 3 章 高阶系统状态反馈部分特征结构配置................... 31
3.1 引言................................ 31
3.2 特征结构配置问题的描述 ........................ 31
3.3 特征向量间的正交关系............................. 32
第 4 章 时滞高阶系统状态反馈控制部分特征值配置............................. 41
4.1 引言.......... 41
4.2 时滞单输入状态反馈控制部分特征值配置 ..................................... 42
第 4 章 时滞高阶系统状态反馈控制部分特征值配置
4.1 引言
考虑如下的高阶系统
第二章对反馈模型求解时忽略了状态测量值与控制执行之间的时滞。事实上，任何实际的系统中都或多或少地存在着一定的时滞。由于系统响应过程中依赖于测量数据所得的状态值和控制驱动间的时滞是不可忽略的，因而对时滞系统展开研究是必要的。为了实现系统在时滞条件下的特征值配置，通常对系统 (4-1) 引入控制力 Bu(t -τ)，则有。
结 论
在系统设计中特征值配置是重要的研究问题之一。该问题在低阶系统上的研究已取得很多成果。本文在其基础上，对高阶线性系统的几个问题进行了研究，主要成果及创新点总结如下：
1. 对高阶系统状态反馈控制部分特征值配置问题，确定了高阶线性系统状态反馈部分特征值配置满足无溢出性质的条件。将高阶特征值配置问题转化为矩阵多项式求解问题，给出了单输入情形下求解该问题的一个新算法。把多输入系统特征值配置问题分解为多个单输入系统特征值配置问题，完成了多输入系统部分特征值配置。给出算例的数值结果表明算法有效可行。
2. 对高阶系统状态反馈控制特征结构配置问题，利用系统矩阵与开环特征向量间的正交关系，得到了高阶系统部分特征结构配置的无溢出性。在控制矩阵待定的情况下对任意给定自共轭闭的目标特征对，提出了同时计算反馈矩阵和控制矩阵的算法。验证了部分特征结构配置实反馈矩阵和实控制矩阵的存在性。
3. 对时滞高阶线性系统的部分特征值配置问题，在系统为单输入情形下利用系统矩阵与开环特征向量间的正交关系，证得了部分特征值配置满足无溢出性质的充要条件。在此基础上建立了求解单输入时滞系统部分特征值问题的算法。对于多输入时滞系统部分特征值配置问题，给出了多步混合法和响应矩阵法。多步混合法的求解过程简捷且容易实现，有较好的数值性质。响应矩阵法可以在系统矩阵信息未知的情况下，通过测得的响应值实现特征值配置，具有计算量小和自由度高的特性。对高阶系统稳定性的分析，利用时滞项的泰勒展开得到近似系统，将高阶系统稳定性问题转化为一阶近似系统的稳定性问题，实现了对高阶系统在固定时滞处的稳定分析。
参考文献（略）