在 1695 年, 分数阶微积分的概念被 L'Hpital 和Leibniz 提出来的, 它伴随着整数阶微积分发展而产生的, 它是整数阶微积分研究的推广. 含有分数阶导数或者分数阶积分的方程统称为分数阶微分方程. 分数阶微分方程在流体力学, 材料力学、生物学、化学、等离子体物理学等许多领域中被提出, 并得到了广泛的应用和研究, 其基本理论已被建立。 发展至今, 有关分数阶微分的定义形式有多种, 常见的主要有 Riemann-Liouvile 分数阶微分、Caputo 分数阶微分和 Weyl 分数阶微分， 但这些定义之间都有着密切的联系. 随着分数阶微分方程理论以及应用的迅速发展, 研究者们也开始对一些分数阶偏微方程进行了深入的研究,但是研究起来比较难, 还处于初级发展阶段, 还有很多理论和问题需要解决。
1.1 脉冲微分方程和混合微分方程的物理背景及研究现状
脉冲微分方程描述了在一系列固定时刻发生快速或者跳跃的运动规律, 即是一种瞬间突变现象的数学模型, 它在物理学, 化学, 生物学, 人口动力学等多个学科领域有着广泛的应用. 在1960年, Mil'man和Myshkis就开始研究整数阶脉冲微分方程, 直到 20 世纪末, 专著 相继问世使脉冲常微分方程理论得于形成和完善. 目前, 我们主要研究脉冲常微分方程, 脉冲泛函微分方程以及脉冲微分方程的边值问题和初值问题等领域.
最近几年来, 随着分数阶微积分深入的研究和脉冲微分方程理论的完善, 分数阶脉冲微分方程也得到了相应地研究和发展. 文献中,Herzallah和Baleanu研究了如下分数阶脉冲微分方程的初值问题
他们证明了该分数阶微分方程的初值问题解是存在的. 本文中混合微分方程是指具有二次扰动的非线性微分方程. 由于这类微分方程具有深刻的物理背景以及广泛的实际应用, 所以近几年来得到了研究者们的青睐, 它的基本理论已被建立, 如解的存在性定理, 极值解的存在定理以及相应不动点定理等。 分数阶混合微分方程也随之得到发展和研究.
1.2 长短波方程和 Schr?dinger 方程的物理背景及研究进展
长短波方程描述了一类非线性共振波的物理现象, 是无穷维动力系统中一个应用比较广泛的共振模型. 这类非线性共振波满足物理守恒定律, 是同一个共振系统的能量以多种方式相互交换的结果. 文献中, 研究者们得到了此非线性相互作用项是由长波和短波的共振产生的, 即当长波的相速度近似于短波的群速度时, 共振现象产生. 在文献中, 假设长波、短波共振, Benney根据守恒系统推导出了如下的长短波相互作用的动力学方程组
发展至今, 多种情形下有关长短波方程的基本理论已建立和完善. 在文献中, 郭柏灵分别证明了长短波方程存在整体解和广义长短波方程存在整体解. 文献分别研究了不同情形下的长短波方程整体吸引子的存在性.在文献中, 作者研究了如下的非自治广义耗散长短波方程组
第2章 脉冲混合分数阶微分方程缓和解的存在性
2.1 预备知识
本章考虑了如下的脉冲混合分数阶微分方程
2.2 主要结论
第3章 分数阶脉冲微分方程分段连续渐近周期解的存在唯一性............. 21
3.1预备知识................21
3.2主要结论...................25
第4章 分数阶长短波方程整体光滑解的存在唯一性.........................31
4.1一致先验估计..........................31
4.2整体光滑解的存在唯一性............................. 35
第5章 非自治分数阶长短波方程一致吸引子的存在性.............................37
5.1预备知识...............................37
第 6章 非线性分数阶Schrdinger方程组驻波的存在性和稳定性
6.1 预备知识
这一小节中, 我们首先利用变分原理将研究方程(6-1)驻波的存在性和稳定性转化为研究约束极小值问题. 我们知道方程(6-1)驻波有如下的特殊形式
第7章 带可加白噪音分数阶Ginzburg-Landau方程随机吸引子的存在性
7.1 预备知识
我们给出关于分数阶微分以及分数阶Sobolev空间的一些概念同第四章.
参考文献（略）