1.1 测度链产生的背景、本文的主要工作
微积分理论的建立，开创了科学的新纪元，为数学的应用和发展开辟了许多新的领域，加强与加深了数学的作用，微分方程便是其中之一．随着物理学、化学、生物学、人口动力学等学科的发展，大量的微分方程问题随之出现．虽然微分方程的发展历史悠久，但由于它的应用不断扩大和深入，新的理论分支不断出现，使得它的发展至今仍充满了生机与活力．
经过差分化后，微分方程可化为差分方程，微分方程和差分方程可以用来描述许多重要的动力系统．动力系统一般分为连续和离散两种类型，但二者之间却存在着许多共性和紧密的联系．差分方程理论与微分方程理论中的许多结论都有相似之处，尽管如此，就许多内容而言，在差分方程中更为丰富．可以发现许多例子表明，它们之间可能会有一些完全不同的性质．如下述单种群的生态数学模型的 Logistic 方程
在某些振动性质方面也存在差异．因此，对于微分方程，以及它们相对应的差分方程，人们都是分开单独进行研究的，这就使得出现了大量的、重复的研究.如：稳定性理论、定性理论、振动理论等方面的研究．因此，我们自然会想：是否存在这样一种新的理论框架，它的作用是可以将连续和离散系统联系在一起，在该框架下人们可以避免对这两个系统不必要的重复研究，但却能得到更广泛的结论，更好的洞察两类不同的系统之间的本质差异？
1.2 测度链上的基本定义和定理
这一节将给出本学位论文要用到的测度链上的一些重要的定义和定理，更详细的内容可参考文献[3，4，6-9]．
第2 章 测度链上一阶动力方程初值问题
本章研究了测度链上一阶初值问题解的存在性.在2.1节中，介绍了问题是如何提出的，并给出了一些预备知识；在 2.2 节中，运用上下解方法，证明了测度链初值问题在适当条件下必存在最小解和最大解． 这一章的内容取自研究生期间我们完成的论文[2]．
2.1 引言和预备知识
随着测度链的发展和完善，许多文章对于测度链上的边值问题都进行了讨论，也取得了很好的成果．这些文章大部分都运用不同的不动点定理，得到动力方程边值问题一个、两个、多个解的存在性．也有一些文章提到了上下解，参见[20-24]．对于测度链上的初值问题，可以参见[6，20，23-25]．
在文[6]中，作者考虑了如下初值问题：
2.2 主要结果
本节我们的主要任务是研究测度链上的初值问题（2-4）的解的存在性，所用的方法是上下解方法．首先，给出初值问题（2-4）上解、下解的定义.
第3章 测度链上二阶动力方程边值问题 ................ 17
3.1 有限区间上的边值问题 ................... 17
3.1.1 引言和预备知识 ...................... 17
第4章 测度链上动力方程终值问题 .................. 33
4.1 测度链上一阶动力方程终值问题 ................... 33
4.1.1 引言和预备知识 ................. 33
第5章 结论和展望 ............................ 45
5.1 主要结论和创新点 ............................ 45
第4 章 测度链上动力方程终值问题
本章将讨论测度链上的终值问题，包括测度链上一阶动力方程终值问题和二阶动力方程终值问题．这一章的内容取自研究生期间我们完成的论文[4]和[5]．
4.1 测度链上一阶动力方程终值问题
4.1.1 引言和预备知识
关于终值问题的讨论，我们在常微分方程中已经研究过，参见[26,60-65]．但是对于测度链上的终值问题的研究却很少，参见[66,67]．本节所研究的问题主要是受到了[26] 中终值问题和文[67]的启发．
[26]中考虑了如下一阶常微分方程终值问题：
第5 章 结论和展望
5.1 主要结论和创新点
在第二章中, 研究了测度链上的初值问题.首先讨论了初值问题上下解之间的大小关系，然后运用上下解方法研究了初值问题的最值解的存在性问题．并且举例加以验证．当T= 时，本章的结论与常微分方程中的结论一致．
在第三章中，第一节研究了测度链上有限区间上的边值问题, 给出了该边值问题的格林函数的表达形式，运用 Leray-Schauder 不动点定理证明了边值问题的解的存在性．本节的创新点在于方程中显含x(t)Δ这一项，使得格林函数的构造不是特别容易．第二节研究测度链上无穷区间上的边值问题，分别用Leray-Schauder非线性抉择和 Leggett-Williams 不动点定理讨论了边值问题解的存在性问题，最后用例子进一步说明主要结果．
在第四章中，第一节研究了测度链上一阶动力方程终值问题，用上下解方法讨论了终值问题最值解的存在性，并与常微分方程中的终值问题以及测度链上的结果作比较．第二节研究了两种测度链上的二阶动力方程终值问题，并且运用上下解方法讨论了它们最值解的存在性．最后举例加以说明．
参考文献（略）