第1 章 绪论
1.1 概况
双曲守恒律系统的研究是当代数学物理领域的一大挑战, 也是其中的一个重要的组成部分, 在国际上数学界和物理学界引起了充分的关注. 近几十年来对于双曲守恒律方程组的研究工作更加广泛和活跃, 这主要是因为它的物理背景十分广泛, 并且应用价值很强, 例如在气体动力学, 弹性力学, 水波理论, 色谱方程, 燃烧理论, 交通流等相关的科学领域都有涉及.
1950 年 E.Hopf 的工作给出了守恒律理论的严格定义, 接着, P.Lax, O.Oleinik和 B.Riemann 等人在守恒律方面也做了很多研究. 在双曲守恒律理论的研究中会遇到较大的困难, 主要原因就在于出现了间断解, 例如激波或驻波间断. 间断解的出现可能是由于初始值造成的, 即使初值是光滑的, 解中都可能出现间断. 因此, 激波理论的研究也是数学物理领域的重要课题, 也推动了关于守恒律方程组的研究. 当然在此之前, 就已经出现了许多流体力学方面的重要研究, 例如 1948年Courant和Friedrichs 的经典著作.
激波现象在自然界中是一种非常重要的现象, 它是运动流体从一种物理状态到另一种物理状态的突然变化, 通常是速度, 温度或熵的突然变化, 一般是由地球上的自然力造成的, 通常会出现在气体动力学、流体动力学、弹性学、热弹性学中. 二战期间发明的超音速飞机使得人们对激波现象和气体动力学方程组的理论需要更好的理解, 因此这个领域出现了许多纯粹的数学理论. 在 20 世纪 50 年代, 许多物理学家就注意到了一些非线性现象. 气体动力学中的激波现象也为拟线性双曲守恒律方程组的间断解在数学理论中的研究提供了一个很好的模型. 激波这种变化的过程十分复杂, 但在许多问题中, 我们只从数学上把激波当作一个突跃面来看, 因此能够合适的描述某些激波现象.
湍流问题总是能够引起数学家们的注意, 在湍流理论的研究中, 伯格斯(Burgers)方程是一个非常典型的方程. 伯格斯方程是最简单的双曲守恒律形式的方程, 可以描述许多物理现象, 例如具有有限电导的磁流波, 粘性介质中的声波等. Hopf 研究了带有粘性项的伯格斯方程, 并且完全解释了它的物理现象. 本论文中在伯格斯方程的右边加了无粘性的线性强迫项, 因为初值的间断性, 在某个时刻会出现间断解, 我们能够具体地构造出该伯格斯方程的黎曼问题的激波解, 而且从其激波解的形态可以看出强迫项对激波阵面的影响.
1.2 主要研究内容
在本文中主要研究的是单个双曲守恒律方程, 特别是伯格斯方程的黎曼问题的激波解. 首先, 考虑带有线性强迫项的无粘性伯格斯方程的黎曼问题, 此时需要提出推广的Rankine-Hugoniot条件, 我们可以在广义函数意义下给出它的证明. 本文取两种特殊的强迫项, 通过推广的 Rankine-Hugoniot 条件和特征线方法可以得到在两种特殊情形下黎曼问题的激波解, 并具体分析激波解的性态, 在激波解的构造与分析中, 我们可以看到它反映了线性强迫项对激波阵面的影响, 而且在黎曼问题的激波解的构造过程中我们还可以观察到一些有趣的现象.
其次, 我们考虑相对论伯格斯方程的黎曼问题的激波解的正则化. 当黎曼初始值是单个递减跳跃时, 我们发现对非线性对流项做正则化不能得到正确的激波解. 为了克服这个困难, 我们用一种新方法, 即 Mohseni 提出的可观测散度方法来求解相对论伯格斯方程的黎曼问题, 并且发现这种方法可以得到正确的激波解. 另外, 我们在完全显式的计算中取Helmholtz算子进行计算.
本论文共有五章, 主要安排如下:
第一章主要介绍了写作本文的背景和用到的一些方法, 简单介绍了非严格双曲守恒律方程组, 黎曼问题, 激波, 伯格斯方程以及特征线方法的研究历史和国内外研究现状. 并且对本论文主要的研究内容进行了简单介绍, 使我们对本论文有了简单的了解.
第二章主要罗列了一些关于双曲守恒律, 黎曼问题, 伯格斯方程以及间断解等知识的定义和定理, 以便于我们在后面的研究中需要这些基本知识作为基础, 来进行更深入的讨论.
第三章主要介绍了带有线性强迫项的无粘性伯格斯方程的黎曼问题的激波解. 主要研究的就是非齐次方程
第2 章 预备知识
2.1 基本知识
为了给后面几章的讨论做准备, 我们在本章部分给出关于双曲守恒律, 黎曼(Riemann)问题, 伯格斯(Burgers)方程以及间断解等知识的一些基本定义和理论(详见[11]).
定义 2.1.1.[11] 对于如下形式的拟线性偏微分方程(组)
2.2 伯格斯方程的间断解
在具有(2.1.1)形式的双曲守恒律方程(组)中, 能产生激波的一个最简单的例子就是伯格斯方程
第3章 带有线性强迫项的伯格斯方程的黎曼问题的激波解 .................9
3.1 引言 ....................9
3.2 跳跃条件 .....................12
第4章 相对论伯格斯方程的激波解的正则化 .................27
4.1 引言 ...........................27
4.2 预备知识 ...........30
第5章 总结与展望 ..................41
第4 章 相对论伯格斯方程的激波解的正则化
4.1 引言
Euler 方程组和 Navier-Stokes 方程组是控制流体力学中的著名的基本定律, 现在它们仍然还有很多挑战需要克服. 其中一个重要原因就在于方程组中的非线性项产生了激波形式的小尺度结构和湍流, 因此我们希望找出一种有效的方法来得到这个小尺度结构. Chen等人在[32-34]和Cheskidov等人在[35]中介绍的正则化方法是通过对某些带有滤子的项做卷积, 该方法已经用来解决上述问题, 它们属于一类被称为α?模型的模型. 事实上, 它类似于[36]中的 Leray 型方法, 他是用卷积来解决不可压缩的 Navier-Stokes 方程组, 并且因此在文献中通常被称为 Leray型正则化方法.
第5 章 总结与展望
由第四章的结果, 我们能看到一个 Leray 型平均值, 即对流速度的平均, 对于一般的伯格斯方程是成功的, 因为事实上方程(4.1.1)满足特殊条件(4.3.12). 因此, 这个平均值不能延伸到一般的单个守恒律方程, 更不用说双曲守恒律方程组了. 这里我们以相对论伯格斯方程为例来解释它. 为了弥补这个不足, Mohseni提出了可观测散度方法来研究双曲守恒律方程组的激波正则化. 本文我们以相对论伯格斯方程作为详细的例子来验证和确定这是一种有效的正则化方法, 这是因为它保持了初始方程的速度. 特别地, 我们用 Helmholtz 算子, 使得正则化方程组(4.1.8)能被改写成守恒形式(4.4.1), 并且因此它保持了相对论伯格斯方程(4.1.4)的初始的守恒性质. 明显可见本文的结果可以延伸到凸的（或凹的）单个守恒律, 而且和 Leray 型平均值相比, 可观测散度方法可以近似地延伸到双曲守恒律方程组.
参考文献（略）