1.1研究背景及意义
变分理论最初来自于对极值问题的探究。Hilbert在20世纪提出的二十三个引领数学发展的著名数学问题中，有三个问题是有关变分学的。这之后的100多年时间里，人们对变分问题的探究，不但有助于解决很多来自不同领域的科学问题，而且数学理论的许多分支的发展因此得到更进一步的发展。泛函分析、实变函数、椭圆型偏微分方程理论、测度论、几何分析、变分不等式、大范围变分学、最优化控制理论、有限元方法等数学理论与方法的发展都获益于对变分问题的探究。
临界点理论的发展和对具体变分问题的探究相得益彰。学者们通过对具体变分问题的研究创建和扩展相应的临界点定理，来探究变分问题的解的多解性和存在性，进而可以对物质世界中的非线性问题进行理论分析。进一步深入探究我们会发现，不但可以将目光保持聚焦在探究变分问题的可解性上，还可以进一步聚焦在变分问题解的更内涵层面的问题上。借助更深一层面探究变分问题解的分析性质、拓扑性质、几何性质来阐释变分问题所描绘的物理学现象。比如说，深入探讨解的类型和解的集中现象、衰减性质、奇异现象、Nodal集性质、对称性、Morse指标等。对此类课题的探究，不但要求我们必须综合变分微分方程的具体特性和临界点的抽象理论，并且我们还必须要进一步延伸出新技术、新方法和新思想，故而其极具重大的理论意义与探究价值。
巩固大家脑海中关于数学及其应用理解的强大、有力的工具之一即为变分方法。追根溯源，首先是变分方法不但可以被用于处理很多重大的实际问题，而且更深层面的是变分方法所包含的变分原理，是极具普适性的自然规律、法则，源于物理、工程、经济、生物等各类领域的诸多问题都遵循这一规则。阐述和解释，源于各式各样背景的自然与社会现象，一般情况下能够归结为多种非线性微分方程的求解问题。站在抽象的角度去观察，此类方程的求解可以归结为，一定形式的非线性算子方程的求解：
1.2本文的基础知识
本论文将使用变分方法和Morse理论来论证我们得到的结论。故而，我们首先给出证明过程中要用到的的抽象结论和一些准备知识（请看文献。
第二章已有结果与本文定理
2.1变号解的存在性
2.2零点的临界群
第三章定理的证明..............12
3.1无穷远处的临界群.........12
3.2证明定理1.1............15
3.3定理1.2的证明........17
第三章定理1.1的证明
3.1无穷远处的临界群
参考文献（略）