第1章绪论
1.1研究背景
数学是锻炼思想的体操⑴，数学思想的培养也一直受到人们的重视。从公元前600年以前的数学萌芽期，到现代数学时期，数学思想的演变、发展经历了20多个世纪的变迁，数学思想、数学方法与内容也发展的越来越成熟，尤其是现代数学时期，数学竞赛对于数学发展的贡献是巨大的。由于人与人的数学能力的差异容易辨别，所以数学竞赛就像体育竞技一样，有了比较一致的评价标准，并几乎从一开始就得到了数学界、教育界、心理学界乃至社会各界的广泛认同[2]。数学竞赛对近几十年来我国数学的发展也起到了很大的促进作用。数学竞赛试题能很大程度上锻炼一个人的数学能力、提高一个人的数学思维，所以参加数学竞赛的学生也越来越多，全国的数学竞赛也是发展的越来越成熟。CMO之所以是髙中阶段最为重要的数学竞赛之一，不仅是因为CMO的试题新颖别致，内容覆盖面广，能体现现代数学的思想与方法，能在很大程度上选拔出优秀人才，而且早些年参加CMO的获奖选手还可以被保送到全国一流的名牌大学。同时，通过层层选拔考试并且由CMO最终进入中国国家集训队的学生可以参加MO(国际数学奥林匹克)⑴，而MO是世界上影响和规模最大的中学生数学学科竞赛活动，能在IMO中薪露头角，那都是中学生所梦寐以求的。IMO自1959年第一届幵办以来，至今已经举行了 53届，其中中国正式参加IMO比赛一共有27届，而中国队获得总分第一的好成绩一共有17届，占了近三分之二的比例，并且我们的参赛选手还囊括了其中多数的“奥数”金牌，中国炉然成了 “金牌大国”。这在国际上而言，是一个骄人的成绩，同时也彰显了华夏儿女的卓越数学才智以及我国中学数学教育所取得的优异成绩。这对鞭策和鼓舞青少年学好数学，起到了很大的促进作用。
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1.2研究意义
关于CMO试题及成绩的统计分析，是一个既具有理论意义，又具有实践意义的选题。它既符合数学奥林匹克事业的发展需要，同时也符合我国中学生数学能力提高的要求。把CMO试题及成绩作为研究对象，既参照了 CMO本身的特点，又符合现代数学时期的发展需要；既拓展和深化了数学奥林匹克理论的研究范围和对象，又促进了数学奥林匹克学科的发展。从CMO试题本身的特点看，CMO是一种“前沿数学”，它的试题具有灵活性、适应性、科学性，能提高学生的灵活度与技巧度，能促进学生创造性思维的训练，并且它的试题不断推陈出新，别具风格，思维方式新颖，不断涌现出新问题、新思路、新方法及新结果，并将前沿结果初等化，将古典问题高等化；CMO是一种“中间数学”，它介于初等数学与高等数学之间，中学生可以通过参加竞赛，不仅可以了解自己对于初等数学知识的掌握情况，使自己的初等数学知识得到延伸与拓展，从而提高自己的逻辑思维能力及活学活用的能力，而且还能够接触一些高等数学的方法和概念，提高他们的数学思维，锻炼他们的数学才智，从而有利于以后对于高等数学的学习；CMO是一种“教育数学”，它既是现代数学的普及教育、较高层次的基础教存，又是生动活拔的业余教宵、开发智力的素质教育，它既是有教宵目的的数学，又是在竞赛教育中逐步形成的教宵数学，它可以使不同的人在数学上得到不同的发展，它的内容的科学性以及问题解法的灵活性使中学生的能力得到普遍提高；CMO是一种“艺术数学”，它将趣味性的陈述融入现代化的内容，将独创性的技巧融入普遍性的问题，独到地展现了数学的魅力。
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第2章预备知识
2.1数学奥林匹克简介
在我国，“数学竞赛”与“数学奥林匹克”是同一个概念，至于“竞赛数学”、“奥林匹克数学”、“奥数”，其内容也是一样的，都是在数学竞赛大纲下的标准化处理，只是在总体上多了一个“教程”的性质。数学奥林匹克的发展在我国经历了由单一到全面、由小到大的过程，度过了花开花落、枯木逢春及登上顶峰三个时期。1956年，受到前苏联的影响，新中国在四个城市——京、津、沪、汉举办了第一次数学竞赛，主持这一竞赛的是著名数学家华罗庚。这时的竞赛规模小，仅限于大城市。由于各种因素的干扰，数学竞赛断断续续地进行了近10年，也只是零零散散地举办过6届。这期间，由以华罗庚为主体的很多数学教育家及优秀教师汇集在一起进行交流切磋，共同拟定了很多高质量的试题。在数学家及教育家们的共同努力倡导下，1956-1965年期间我国的数学竞赛活动发展的形势很好，也引起了各界的广泛关注，期间数学竞赛的举办为人才的培养与教育起到了很好地模范带头作用。但由于1966年全国开始文化大革命，使当时的数学竞赛活动彻底暂停，致使很多有水平的选手都无缘参加MO的角逐。数学竞赛到“文革”期间完全停止后又到再度恢复则是1978年的事了。1978年我国的数学竞赛又恢复正常，我国的京、津、沪、粤、川、辽、院联合举办了规模宏大的数学竞赛，主持竞赛的也是华罗庚教授。1979年，数学竞赛在我国发展壮大到全国29个省市、自治区。1980年，第一届全国数学普及工作会议在大连举行，参会的数学家、教育家代表们潜心研究了数学竞赛，将数学竞赛定为一项经常性工作，并将数学竞赛普及到各省、市、自治区，将数学竞赛正式定名为‘‘全国高中数学联赛”，比赛时间定于每年的10月份。
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2.2方差分析
单因素方差分析是同一因素的多个水平对测量值（指标）的差异影响，当单因素方差分析的结果中，均值完全相等，则没有显著性差异；当均值不完全相等或是全不相等，也即各个水平存在显著性差异但并不是各个水平两两之间都存在显著性差异或是都有显著性差异时，要分析哪些水平之间存在显著性差异，哪些水平之间没有显著性差异，这时就会用到多重比较。多重比较的检验方法又有很多，这里只是简单介绍其中较常用到的方法及其差别。(1).方差相等时的一些多重比较方法：①.LSD方法：即最小显著性差异法。用t检验完成组间成对均值的比较。检验的敏感度较高，即使是各个水平间的均值存在细微差别也有可能被检验出来，但是此方法对第一类弃真错误不能进行控制和调整；②.Bonferroni方法：即修正最小显著性差异法。用t检验完成组间成对均值的比较，但是通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率。因此采用此方法看到的显著值是多重比较完成后的调整值；③.Tukey方法：用q检验完成各水平下观测值个数相等时组间成对均值的比较。一定程度可以保证犯一类错误的概率总体上不增大；④.Scheffe方法：当各水平下观测值个数不相等，或者对所有可能的组合进行同步比较，或者想进行复杂的比较时，可选用此方法。这种方法相对比较保守，有时候方差分析F值有显著性，用该方法进行两两比较却找不出差异。
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第3章CMO试题及成绩分析........ 13
3.1 CMO试题及成绩来源 ........13
3.2 CMO试题与IMO试题比较分析........ 13
3.2.1 CMO试题与IMO试题的类型比较分析.........13
3.2.2 CMO试题与IMO试题的知识点比较分析........16
3.2.3 CMO试题与IMO试题的知识点变化趋势比较分析........ 29
3.2.4 CMO试题及IMO试题中部分重要内容的前景预测及分析........ 35
3.3基于CMO成绩的单因素方差分析 ........39
3.3.1分类型变量的指标选取及记号说明 ........39
3.3.2正态性检验与方差齐性检验........ 40
3.3.3主效应检验与多重比较........ 42
3.3.4地区间CMO成绩差异的可能性原因分析........ 48
3.4结论 ........50
第3章CMO试题及成绩分析
3.1 CMO试题及成绩来源
本文所要分析的竞赛试题是自1986年举办第一届CMO以来至今的28届竞赛试题，以及自1959年举办第一届MO以来至今的53届竞赛试题。CMO与MO的考试形式类似，都是分两天考试，第一天四个半小时，做3个题，第二天同样的时间，也是做3个题，都是6个题。在中国人的习惯看来，与IMO的分数制度稍有差异，CMO试题每题21分，总分126分，而MO试题每题7分，总分42分。题目难度上CMO试题难度较MO试题难度要高，技术性较强。具体的试题分析将在本章第二节详细介绍。本文所做的数据分析主要是针对2010-2013年中国数学奥林匹克竞赛(CMO)的成绩分析，成绩是来自全国34个省、市、自治区的不同地区的不同学校的不同学生的成绩，但是所有学生每年的参赛试题是一样的，评分标准也是一致的，所以不同地区的教学效果是否不同，哪些地区之间存在相似性，哪些地区之间又存在很大的差异，学生的整体水平是否每年都有提高等等，这些问题都有待于研究，本文就根据学生近几年的CMO成绩着重研究了这些问题。由于数据较多，本文将不把数据一一陈列，具体的分析研究在第三节会有详细的介绍。
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结论
数学奥林匹克竞赛不仅贴近中学生的学习生活，又高于中学生的学习生活，不管是数学奥林匹克竞赛生活化的一面，还是前沿性的一面，都体现了数学奥林匹克竞赛是一门很特殊的学问，这些也都体现在CMO考试当中。针对数学奥林匹克竞赛的这些特点，本文对CMO试题做了比较细致地分析，得到了 CMOS题所涉及的试题类型、考察的知识点及变化趋势模型，并且与MO试题做了详尽对比，然后将CMO及IMO试题中比较重要的知识点做了前景预测分析，通过这些了解到我国的数学发展与国际步调一致甚至走在世界的前列，并且特别注重对中学生的数学综合能力的培养。在此基础上，本文分析了近几年CMO考试成绩，进而得到了地区之间学生成绩存在的显著性差异，并进一步分析了差异性存在的可能性原因。中国之所以能够在国际数学奥林匹克竞赛中取得骄人的成绩，这离不开CMO对于中学生的培养和选拔。本文研究CMO试题及CMO成绩，除了能更好地服务于数学竞赛外，更重要的是，期望更多的中学生可以了解并熟悉数学奥林匹克竞赛，希望他们可以掌握更多实用的技巧和科研的方法，领悟数学的神髄，从而迈向科学的光明之路。
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参考文献（略）