第一章 绪论
1.1 布尔函数的研究背景及发展现状
Shannon在1949年发表了论文《Communication Theory of Secret Systems》为密码学奠定了理论基础,使密码学从此成为一门真正的科学.1976年,Diffie和Hellman[1]发表的《New directions in cryptography》提出的公钥密码系统导致了密码学界的一次新变革,为解决通信网络中的安全提供了新的理论和技术支持.现代密码学已不在局限于在军事、政治、外交等传统领域的应用,其在经济、社会、文化等方面的价值也已逐步得到人们的认可,并且展露出了可进一步挖掘的潜力.现代密码学包括两个分支,即密码编码学和密码分析学.密码系统根据其密钥特点可分为私钥密码系统和公钥密码系统,而私钥密码系统按照加密方式又可分为流密码和分组密码.布尔函数被广泛应用于流密码和分组密码的研究和设计中,而随着众多密码学性质的提出,对其安全性能的研究成为可能.20世纪40年代,传统密码系统的设计依赖于Shannon[2]所提出的两个基本准则:混淆和扩散.混淆和扩散可以通过布尔函数的某些密码学性质得以量化,混淆使得系统中的代数结构不易暴露,它相关于非线性度.而扩散隐藏明文的统计特性,它有关于扩散特征.Meier和Staffelbach[3]指出了混淆和扩散准则间的一个关键联系,并证明了对于变元为偶数的布尔函数,最大非线性度和最佳扩散特征是等价的条件.为抵抗相关攻击,Siegenthaler[4]在1984年提出了相关免疫的概念;为抵抗差分攻击,在研究如何设计 -盒时,Webster和Tavares[5]将完全性与雪崩特征结合起来首次给出了严格雪崩准则的定义;Preneel等人[6]提出了扩散准则的概念;Ma-itra和Pasalic[7]在2002年提出了代数免疫的概念.
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1.2 内容安排及主要研究结果
本文总共分为六章,各章节的内容安排介绍如下:第一章 绪论,阐述了论文研究背景与意义和布尔函数的研究现状.第二章 介绍了用于本文研究的代数知识,主要是群、环和域的定义,其次介绍了布尔函数的基础理论.以下是本文的主要研究成果.第三章 研究布尔函数的相关系数和非线性度.给出了布尔函数自相关系数和互相关系数的一些结论.得到平衡布尔函数的一个推广的上界.并给出平方和指标的一个下界.第四章 研究布尔函数的自相关系数和Walsh谱,给出 元 阶弹性函数绝对值指标的一个下界.并给出布尔函数的Walsh谱、代数次数和互相关系数之间的一些结果.第五章 研究相关免疫和弹性函数的加性自相关,给出布尔函数的代数次数整除性质的一些相关结果.并在布尔函数的Walsh-Hadamard变换和相关系数的基础上给出了Nega-Hadamard变换和nega互相关系数的一些结果.第六章 总结.
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第二章 布尔函数的基础理论
2.1 有限域
由有限个元素所构成的域称为有限域,或称为伽罗瓦（Galois）域.反之,则称该域为无限域.域中的元素个数称为该有限域的阶,Diffie和Hellman[1]早在1979年就指出,任一密码体制相关于一个非线性函数,而非线性度是衡量密码安全性能的重要指标.文献[11,41,44,54,62]对非线性度的上下界给出了一些结果,本章节在此基础上给出平衡函数的非线性度的一个推广的上界.其次,考虑具有最低的三谱值0, ±2( +1)/2的函数,研究其自相关性质,引入对偶函数来辅助研究相关免疫和弹性函数的平方和指标.
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2.2 布尔函数的定义及表示方法
布尔函数的表示方法有真值表表示、小项表示、多项式表示、代数正规型表示、矩阵表示、状态图表示、谱表示以及序列表示等,具体可参阅文献[3,52,53,67].不同的表示方法在不同的研究背景中会显示出各自的优势.下给出布尔函数常用的的几种表示方法.布尔函数的密码学性质主要有平衡性、非线性度、相关免疫、代数免疫、雪崩准则以及扩散准则等[16,33,52,53,].下介绍本篇文章所研究的几种性质,包括其定义及相关性质.
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第三章 布尔函数的相关系数和非线性度..........11
3.1布尔函数的相关系数...... 11
3.2平衡布尔函数的非线性度的上界........13
3.3相关免疫和弹性函数的平方和指标的下界...........14
第四章 布尔函数的Walsh谱和相关系数16
4.1弹性函数的绝对值指标的下界......... 16
4.2布尔函数中Walsh谱、代数次数和相关系数的一些结果....... 17
第五章 相关免疫和弹性函数的重量整除性及自相关性质的一些结果.......19
5.1布尔函数的代数次数的重量整除性质........... 19
5.2 Nega-Hadamard变换和nega互相关系数的性质............21
第五章 相关免疫和弹性函数的重量整除性及自相关性质的一些结果
相关免疫和弹性函数是两类非常重要的布尔函数,弹性函数在流密码系统的非线性组合器中有着重要应用,而对其自相关性质的研究也是最近的热门.文献[37]给出了相关免疫和弹性函数的自相关性质的最新结果.文献[25,27,29]给出了相关免疫和自相关性质的关系,这是一个潜在地漏洞,也是本文研究相关免疫和弹性函数的自相关性质的必要原因.
5.1 布尔函数的代数次数的重量整除性质
许多结果给出了相关免疫和弹性函数的非线性度和代数次数之间的联系.当非线性度最大时,代数次数也达到最大.在这种情况下,平方和指标达到其最小值.这说明了对于一个 元 阶弹性函数,非线性度、代数次数和自相关值的平方和指标同时最佳.
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总结
布尔函数在信息安全领域有着广泛的应用,对布尔函数的研究可转化为对其密码学性质的研究.因此,本文通过布尔函数的相关系数和Walsh谱来研究密码学性质之间的制约关系,并侧重研究两种重要的布尔函数:相关免疫和弹性函数.首先,针对定义在F 2上布尔函数的相关系数和非线性度.给出了布尔函数自相关系数和互相关系数的一些结论.并在此基础上来计算布尔函数的非线性度,得到平衡布尔函数上界的一些结果.并给出布尔函数平方和指标的一个下界.其次,利用布尔函数的自相关系数和Walsh谱来研究弹性布尔函数的一些性质.给出元阶弹性函数绝对值指标的一个下界.并给出弹性函数的Walsh谱、代数次数和互相关系数之间的一些结果.最后,研究相关免疫和弹性函数的重量整除性质自相关系数.分析证明在相关免疫函数和弹性函数的非线性度和代数次数同时达到最佳时,其平方和指标也达到其最小值.并在布尔函数的Walsh-Hadamard变换和相关系数的基础上给出Nega-Hadamard变换和nega互相关系数的一些结果.
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参考文献（略）