工程中关于EFG法的连续体最新拓扑优化解析
导读： 结构拓扑优化对象可分为离散体结构拓扑优化(析架、钢结构等)和连续体结构拓扑优化(二维板壳、二维实体)两类,其理论、模型和算法都还不太成熟，处十探索阶段，具有重要的理论研究价值。由本站硕士论文中心整理。
第1章绪论
1.1问题的提出及其研究意义
近年来，人们对十安全问题的关注越来越密切，"5.12”地震发生后，人们对十结构的抗震性能进行了更多的研究，与此同时，梁、板、壳等弹性体在工程实际中本身对十抗震性能也有很高的要求，如房屋建筑、桥梁、汽车和飞机的主体结构等。为了监控振动，尽可能减少对人类的危害，对这些结构进行动力学分析是非常行之有效的办法之一。对结构进行动力学分析，其中一个很重要的方面就是对结构进行模态分析，得到其固有频率。在这个基础上，结合工程结构所处自然环境下的激振频率，对其进行结构拓扑优化设计，使得结构的固有频率尽可能远离激振频率，进避免共振现象的发生，这就是本文研究的目的所在。
结构优化设计是指在既定的结构形式、类型、材料和给定的约束条件下，按照某种目标(如重量最轻、成本量低、刚度最大、频率最大等)求出最好的设计方案。
结构优化设计按照设计变量和求解难度大体上可以分为尺寸优化(Sizing Optimization)、形状优化(Shape Optimization拜I I拓扑优化(Topology Optimization)二种，分别对应十概念设计、基本设、计详细设计二个阶段，如图1.1所示。熟。有限兀法是20世纪工程数值分析领域中最重要的计算方法，理论体系已得到了验证，它的存在已成功地解决了很多重大科学和工程实际应用问题。有限兀软件的盛行使得有限兀法得到了越来越广泛的应用。但是，由十有限兀法中单兀网格的存在，网格间相互约束，会使得优化过程中常常出现如中间密度材料、棋盘格和网格依赖性等数值计算不稳定性现象，这些数值问题的存在，严重地制约了拓扑优化方法在工程中应用范围和深度。
无网格法(Meshless Method)的出现，能够很好地解决上述问题，为攻破难关带来了希一望。作为一种新的数值计算方法，其基本思想是去除有限兀法中的网格结构，采用节点近似来表征其结构特性。因为它没有网格结构，可以不用生成复杂的网格结构，能很好地解决由十网格畸变}fn产生的计算困难;对十不连续问题，无网格法能够构造出高阶的场函数，从避开不连续的问题，提高了计算精度;另外，无网格法由十只需要节点信息，在不连续问题中不要进行复杂的网格重构，提高了计算效率。目前，基十无网格数值技术的拓扑优化设计已逐渐成为结构拓扑优化设计的研究热点[8]。
1.2拓扑优化的研究现状
结构拓扑优化按照研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化(析架、钢结构等)和连续体结构拓扑优化(二维板壳、二维实体)两类。相对十离散结构拓扑优化问题，连续体结构拓扑优化的模型更为复杂，计算量更大。其理论、模型和算法都还不太成熟，处十探索阶段。因此选择连续体结构拓扑优化问题作为研究方向，具有重要的理论研究价值。
连续体拓扑优化迭代过程实际上就是使单兀材料密度趋向十。或者I的过程，对十不需要的单兀，材料密度尽可能趋向十0, 需保留的单兀，材料单兀密度尽可能向十1。在优化系统的数学模型中目标与约束函数是不连续性的，使得优化模型变得不可微，因此在连续体优化中很难采用常规的优化算法对其进行求解。为了解决这个问题，需要对连续变量进行求导，把离散变量的优化问题转化为一个连续变量的优化问题来解决。
1.2.1拓扑优化方法
目前主要的连续体结构拓扑优化方法有:均匀化方法(Homogenization method)、变密度法(如各向正交惩罚材料密度法即SIMP法)、变厚度法、冒泡法、ICM (Independent- Continuous Mapping)法等等。其中均匀化方法不I I密度法是最具有代表性的两种拓扑优化方法。
1.均匀化方法
均匀化方法是一种经典的拓扑优化方法，由十均匀化方法的出现，连续体结构拓扑优化设计才出现一个新局面o Guedes和Kikuchi}l0]十1990年根据不同结构即二维和二维结构，提出了实现算法。Michel}ll]等用均匀化方法简化了材料特性计算方法。Suzhki和Diaz}l2-13]把均匀化算法应用到连续体多工况下拓扑优化中.Lazarus}l`}]利用均匀化理论进行拓扑优化，并进行了动力学计算。Hassani和 Hinton}l5-16]对均匀化拓扑优化理论进行了总结。在Altai:公司的OptiStruct软件中首将均匀化理论用来解决实际工程需要。近年来均匀化方法逐渐应用十复合材料fl}l、柔顺机构一分析中。
2.密度法
密度法材料插值模型是目前算法上应用最多的一种拓扑优化插值方法。基本思想是引入0-1材料中间密度值，对十可以去除的材料，密度趋向十0, 需要保留的材料，密度趋向十1 , 0-1中间的材料密度应尽可能趋向十0或1。该方法改经过修改以后，能有效地消除棋招‘格现象，并能分析不同优化参数对拓扑优化计算结果的影响。因此，该方法已成为拓扑优化的主流方法之一，目前已用十解决宏观线弹性结构拓扑优化问题。
Mlejnek等特巴离散结构优化问题转换为连续问题来处理，通过这一理论构成了密度法材料插值模型的基础。Sigmund和Bendsoe等[20-22}系统研究了变密度法，提出了SIMP材料插值模型。
3.其他拓扑优化方法
隋允康等[X23-25}提出了ICM法，成功解决了多工况应力与位移约束下的析架结构拓扑优化问题。对静力及动力拓扑优化问题的处理都是可行的。
此外，还有变化度法[26-2s},冒泡法[2}}
1.2.2拓扑优化算法
国内外学者提出了各种各样的优化算法来求解拓扑优化问题，目前应用较广泛的有优化准则(Optimality Criteria - OC)法不I I数学规划法(Mathematics Programming-MP)等。
优化准则法[[30,31 ] .首先建立约束条件，然后根据约束条件建立结构满足的最佳准则，从可行的设计中找到最优方案。优化准则法是一种间接的优化方法，对目标函数并不进行直接优化，}fn是根据Kuhn-Tucker条件，构造Lagrange函数来构造设计变量的迭代方案。准则法的优点就是计算量少，对设计变量多的结构具有很好的适应性，正是因为这个原因，在工程应用上有巨大的前景;缺点是通用性差，对十每一个不同的约束条件要有不同的准则和相应的迭代公式，处理起来较麻烦，因此它更适十大量设计变量和少量约束的优化问题。
数学规划方法:采用某种特定的计算方法搜索函数的最速下降方向和最优极值点。数学规划方法可分为两类，即搜索型方法[[32-34] }I I序列规划方法[[35-36]。其优点在十理论基础好，可信度高，适应各种不同类型的问题。缺点在十要不断地计算目标函数和约束函数的数值及梯度，目‘设计变量数目越多，计算规模越大，日寸间也越长。因此只适应十设计变量少的优化问题。
1.2.3模态拓扑优化
在模态拓扑优化研究领域，国内外学者已做了许多工作，如:石连栓等37]针对离散结构模态拓扑优化提出了一种近似的工程处理方法。Pedersen N L}3g}基十有限兀法与均匀化方法，通过改进SIMP方法，对结构模态进行了拓扑优化。Xie等[s}}提出了渐进优化(Excavation Shape Optimization，简称ESO)方法，对结
构动力学问题进行了研究。Tenek L H与Hagiwara}`}0}在开展自然频率最大化设计时，将单兀密度限制在较大的闽值以上，避免了局部模态的出现。Kim等[}m]结合变密度法和优化准则法，提出一种处理大规模的、与特征值相关的并行拓扑优化设训一方法。朱继宏等[}}+a]在研究模态拓扑优化过程中，}闰述了局部模态产生的原因，并提出了解决的办法。
但从上述文献中看，所开展的工作均采用有限兀法作为数值计算手段。
1.3无网格法理论及在拓扑优化中的研究现状
无网格法的基本思想是在求解区域上任意设置有限个节点，采用节点权函数来表征节点及其领域内的物理和力学量，即利用节点权函数近似地表示其影响域内的位移函数和物理场函数，进}fn形成与节点位移和节点物理场相关的系统刚度方程，进行求解。无网格法与有限兀法及有限差分法的根本区别在十它免除了定义在求解区域上的网格结构，不受网格约束，可以方便地在求解域内增加和减少节点个数，从可以极大地改善局部区域内的求解精度。无网格法的创立和发展对十传统的有限兀法等不易和无法解决的复杂科学和工程问题具有重要的理论意义和广泛的应用价值.
1.3.1无网格法的发展
无网格法起源十Zo世纪}o年代，但直到最近几年才得到工程界的广泛关注[48]。它克服了有限兀法对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出了明显的优势。因此，越来越多的科学家对无网格法产生了浓厚的兴趣，并从不同的角度对其展开了研究。目前研究的无网格方法主要有:光滑质点流体动力学方法(Smoothed Particle Hydrodynamic，简称SPH)、重构核粒子法(Reproducing Kernel Particle Method，简称RKPM拜I I无网格Galerkin (Element-free Galerkin，简称EFG)方法。
1977年，Lucyt}49味II Gingold}50]提出SPH法，这是最早出现的无网格法。Monaghan}51]在对SPH方法深入研究后，将其解释为核(kernel)近似方法。但是由十离散形式的SPH法对十非均匀分布的节点不满足线性相容性条件，因此SPH法在处理有限域问题或仅采用少量离散质点时，所得到的计算精度较差，}fn相容性条件的缺失也使其在边界处的计算很不稳定。Swegle等[[52烤旨出了SPH方法不稳定的原因，并提出了一个勃度系数来保证其运算稳定。Dy ka}5}Y]则提出了应力粒子法来改善其稳定性。
针对SPH方法的不足，美国学者Liu}54}在1995年提出了RKPM方法。RKPM也是一种基十核近似的无网格方法，它对SPH法的核函数进行了修改，乘以了一项修正函数，这样就满足了边界上的相容性条件，同时提高了求解精度。RKPM法被广泛应用十结构力学[[55]、大变形[[56]、流体动力学[[57]等领域。
除了基十核近似的无网格法之外，人们还从另外的一个理论系统角度出发，提出了基十移动最小二乘(ML S)法近似的无网格法。1994年，Belytschk。等[58]提出了EFG法，由十其具有其他无网格法所不具有的很多优点，越来越多的学者掀起了无网格法的研究热潮。EFG法是与有限兀法相似的一种数值计算方法，正式由十这种相似性，人们对它的理论体系也比较容易接受。它通过ML S近似来构造形函数，从能量泛函的弱变分形式中得到控制方程，并用拉氏乘子来使其满足本征条件，从得到偏微分方程的数值解。这种方法精度高、收敛快，同时可消除体积闭锁现象，对其进行后处理比较方便。但EFG法计算时都要进行矩阵求逆等复杂矩阵计算，因此计算量较大。目前，EFG主要用十求解边值问题的数值解，如固体力学、计算流体力学、热力学、声学、电磁学等.
1.3.2静态结构拓扑优化的研究
目前，结构拓扑优化的研究一般基十有限兀法来进行结构分析。作为数值计算方法，无网格法和有限兀法均需要对工程问题的求解域进行离散化，从}fn将连续域偏微分方程的计算转化为系统有限节点(自由度)线性方程组的求解。}fn它们的主要不同则表现在对求解域的离散、刚度及质量矩阵的组合及边界条件的处理问题上。
基十上述不同，越来越多的学者尝试将无网格法应用到拓扑优化的研究领域，希一望可以通过无网格法来解决有限兀法在拓扑优化中的不足，从}fn使拓扑优化得到进一步的推广。对此，国内外已有学者对其进行了研究。1997年，美国的Kim Jinman}用EFG法研究了二维连续体结构的拓扑优化问题，但其结果不是很理想，存在严重的棋招‘格现象:Cho和Kwak}}s]用RKPM法研究了非线性几何结构的拓扑优化问题。国内，周进雄66]等利用RKPM法对线弹性体结构拓扑优化进行了究:2007年，杜义贤等67]基十EFG法提出了一种整体式柔性机构拓扑优化设计的方法。以上的研究的共同点就是均选择以高斯点密度为设计目标，在优化结果中产生了棋招‘格现象等数值不稳定现象，因此需要另外引入数值稳定性方法才能消除。2008年，刘翔[}}s]等利用EFG法提出了基十节点密度的改进型拓扑优化方法，以节点密度为设计变量，成功消除了棋招‘格现象.
1.3.3动力学分析的研究
基十无网格法诸多优点，国内外大批学者已将无网格法应用到结构动力学分析当中，但是研究大多局限十结构的模态分析或响应分析，很少涉及结构拓扑优化。
Ouatouati和Johnson}}}]利用EFG法分析了变截面梁和复杂开孔板的动力学性能。Liu和Gu}}0味」用无网格法研究了对十不同边界条件下梁的自由振动和受迫振动性能。Wang和Li等用EFG法分析了梁和板的自由振动及其动力响应。秦雅菲和张伟星[}}a]用EFG法分析了规则薄板的自由振动问题。熊渊博和龙述尧等利用局部Petrov-Galerkin法分别研究了薄板的自由振动以及弹性杆的受迫振动问题o Dai和Liu等以及Liu和Chen利用EFG法对剪切变形层状复合板和复杂薄板分别进行了静态和自由振动分析。徐小丽[[75]等利用EFG法研究了弹性体的自由振动问题o Ferreira不II Batrab}}6]等还分别利用全局配点法不I I局部Petrov-Galerkin法分析了梯度厚板的自然频率和动力变形。Zhou和Zheng利用移动最小二乘瑞利李兹法研究了方板和二角板的自由振动问题。张建平等利用RKPM方法对二维结构进行了结构动力学分析及形状优化。
目前，用EFG法对结构模态进行拓扑优化的问题尚未检索到相关文献。
1.4主要研究内容
本课题来源十国家自科基金(50875223):“基十自适应移动粒子法拓扑优化方法的研究与应用”。本文在总结国内外最新研究成果的基础上，针对存在的问题，将对连续体结构模态拓扑优化问题进行分析和研究。首先基十EFG法对连续体结构进行模态分析:然后在模态分析基础上对连续体结构进行模态拓扑优化:最后针对优化过程中出现的数值不稳定现象提出改进方案。全文内容安排如下:
第一章:介绍本课题的研究意义，国内外关十拓扑优化和无网格法的研究现状、存在的问题，无网格法用十拓扑优化的研究进展。
第二章:基十EFG法，建立连续体结构振动的运动方程和自由振动的特征方程，并编写程序对算例进行模态分析。
第二章:分析连续体拓扑优化的材料插值模型和拓扑优化求解算法，在结构模态分析的基础上，利用变密度法(SIMP)插值模型和优化准则法(OC)，以高斯点处相对密度为设计变量，结构一阶自由振动频率最大为目标函数，建立基十EFG法的二维连续体结构模态拓扑优化模型;通过推导灵敏度计算公式，以得到设计变量的迭代格式，并通过程序将其实现。最后，对模态拓扑优化后的频率变化规律进行分析。
第四章:分析拓扑优化中出现的一般数值不稳定现象以及模态拓扑优化中出现的特殊数值不稳定现象。提出以节点密度为设计变量的模态拓扑优化模型，同时对开孔梁模型进行研究。并通过程序将其实现。
最后，对本文所开展的研究工作进行总结，并指出今后的工作思路。
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摘要 4-5
Abstract 5
ABSTRACT 5-6
第1章 绪论 9-17
1.1 问题的提出及其研究意义 9-11
1.2 拓扑优化的研究现状 11-13
1.2.1 拓扑优化方法 11-12
1.2.2 拓扑优化算法 12-13
1.2.3 模态拓扑优化 13
1.3 无网格法理论及在拓扑优化中的研究现状 13-15
1.3.1 无网格法的发展 13-14
1.3.2 静态结构拓扑优化的研究 14-15
1.3.3 动力学分析的研究 15
1.4 主要研究内容 15-17
第2章 基于EFG 法的结构模态分析 17-27
2.1 EFG 法的基本理论 17-20
2.1.1 MLS 近似算法 17-19
2.1.2 施加边界条件的方法 19-20
2.2 连续体结构模态分析 20-24
2.2.1 动力学方程 20-22
.......................................................................
2.4 本章小结 26-27
第3章 基于高斯点密度的模态拓扑优化 27-38
3.1 拓扑优化理论 27-29
3.1.1 拓扑结构描述方式和材料插值模型 27-29
3.1.2 优化算法及后处理方式 29
3.2 基于EFG 法的模态拓扑优化方法 29-33
3.2.1 数学模型 30-31
.....................................................................................
3.5 本章小结 37-38
第4章 基于节点密度的模态拓扑优化 38-54
4.1 拓扑优化中的数值不稳定现象 38-41
4.2 模态拓扑优化中的数值不稳定现象 41-43
4.3 基于节点密度的模态拓扑优化算法 43-45
4.3.1 拓扑优化模型 43-44
..............................................................................................
第5章 总结与展望 54-56
全文总结 54-55
工作展望 55-56
参考文献 56-61
致谢 61-62
附录(攻读硕士学位期间已公开发表的论文) 62
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