可能性分布对认知不确定性创新分析
导读：永恒运动着的物质所带来的不确定性存在于我们生活的各个角落,由于工程人员对客观现实的认知差异，使得物理模型的建立含有不确定性。由本站硕士论文中心整理。
第一章引言
课题背景
哲学上说，运动是物质的根本属性，这些永恒运动着的物质所带来的不确定性存在于我们生活的各个角落。自从人类认识到世界的这一本质规律之后，便开始了漫长的探索，试图更加深入地了解客观存在的不确定性，以科学的语言去掌握其中的规律，从而达到认知世界的目的。
早在1836年，“不确定性”< Uncertainty)一词就首次出现在了James Mill发表的《政治经济学是否有用》一文中「’]。随着人类社会的持续发展和科学技术的不断进步，有关不确定性的研究越来越受到人们的广泛关注，尤其是在实际的工程问题中，由于对不确定性处理的好坏直接影响到工程实施的效果，不确定性研究更加得到重视。
当代工程系统规模越来越趋于庞大，系统结构也越来越趋于复杂，在系统规模扩大化和系统结构复杂化的同时，设计优化(Design Optimization, DO)中各个环节和参量中的不确定性也在增加。一方面，我们对于工程设计优化中设计参数的表述很难做到完整和精确，例如在产品的整个生命周期中，零件的材料特性、几何尺寸、环境温差等都存在着变化;另一方面，在对工程问题进行建模和仿真的过程中，数学模型及仿真工具的选择也存在着不确定性。这些不确定性如果不加以充分考虑则设计优化的结果可能存在较大误差，系统在设计点的实际运行情况可能与预期有较大偏离，甚至可能导致系统的失效或存在安全隐患。比如近些年来发展起来的以解决复杂系统设计优化问题为目标的多学科设计优化(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)，其一般会涉及到机械工程、电气工程、控制工程等多个学科领域，同时关联着多个子系统，系统间相互藕合、相互影响[f2l，一旦没有处理好各方面的不确定性，就有可能产生类似于“蝴蝶效应”的严重后果，因此，对不确定性进行认识和处理在当代复杂系统的设计中显得尤为重要。
1.不确定性的来源及分类
工程系统设计优化环节中的不确定性来源如图1-1所示。首先，在将工程实际问题转化为物理模型的过程中，由于工程人员对客观现实的认知差异，使得物理模型的建立含有不确定性。其次，物理模型中存在着一定的非线性，在目前的条件下无法精确地转换成数学方程，同时由于缺乏统一的建模方式，工程人员对不同数学模型的选择也带来模型在计算结果上的差异性。此外，当为数学模型输入数据时存在着数据采样的随机性和数据的输入误差，另外计算机在进行模型计算时产生的数值误差，都是设计优化中不确定性的来源.
一般说来，工程实际中存在的不确定性大体上可分为随机不确定性(Aleatory Uncertainty)和认知不确定性(Epistemic Uncertainty)两大类[4]
随机不确定性，即工程系统和环境中的设计参数可以通过一定条件下的重复性随机实验来刻划其变化规律，并且不确定的程度并不随着实验次数的增加而减少,而认知不确定性指的是由于信息不完备(Incomplete Information)或者知识不足(Ignorance; Lack of Knowledge)而引起的不确定性，通过统计信息的增加或者知识储备(新技术、新方法和计算工具)的提高可以减少这种不确定程度。
2.随机不确定性及其处理方法
随机不确定性通常被定义为随机现象，随机现象的实现和对其的观察被称为随机试验。在一次随机试验中，某个事件的发生带有偶然性，但通过大量重复的相同条件下的随机试验，事件的发生又能够呈现出明显的规律性。比如，掷一颗骸子，可能会出现“l;， +2 ;1 } 2…，"6”六种点数的情况，而连续多次掷一颗骸子，则每一面出现的频率均随着投掷次数的增加而逐渐趋向于1 /6 0
在对随机不确定性的处理上，概率论(Probability Theory)作为最常用且发展最为成熟的方法，己得到了广泛的使用。最早提出在测度论基础上建立概率论公理系统的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，其于1934年发表的《概率论的基本概念》一文将“随机性”用“概率”予以量化表示，使得人们可以用数学的方法研究随
机性。
概率论采用事件发生的相对频率来构造概率分布，尤其是在可用数据量充足的情况下，能够很好地刻划出数据的随机分布情况。在一般情况下，我们通过引起系统内在变化的随机现象的特性(如概率分布的均值、方差和相关系数等)来描述随机现象，因此借助于随机变量的分布函数，人们可以研究随机现象的全部统计特征.
概率论处理随机不确定性的方法基于的是样本容量较大的样本数据，而在工程中通常会面临着数据不足的情况，这时基于概率论(随机方法)的计算结果可能出现较大的偏差。
3.认知不确定性及其处理方法
认知不确定性，顾名思义反映的是人的主观意识在对客观世界的认识过程中所存在的不确定性，这种不确定性是由客观世界本身的不确定性同人类自身认知能力的不确定性共同决定的。
工程系统中的认知不确定性大多是由信息医乏而造成的参数或模型不确定性引起的。同时，在设计优化过程中还存在着由于工程人员在决策时对问题存在的模糊性或不精确性而引发的决策相关的不确定性。为了便于说明，我们来简单地分析一下大规模复杂系统中的认知不确定性来源。
以多学科设计优化为例，通常在对大规模复杂系统进行多学科设计优化的过程中，首先，由于其零部件众多、功能各异，且其失效率与失效模式、连接方式等有关，模型复杂，很难获得完整数据;其次，一些重大装备(如航空发动机等)失效机率偏低或失效成本昂贵，在早期阶段尚未产生或无法得到充足的失效数据，而对相设备的可靠性试验也还在拟订阶段，无法收集到必要的统计数据;再次，数据的收集多由未经过正规训练的现场人员来进行，收集到的数据在准确性上存在一定的差异。最后，在一些工程应用中，由于对产品的系统结构及运行机理的不完全掌握，设计人员对产品模型(或仿真工具)的选择缺乏足够的经验，也导致设计优化终存在不确定。图1-2说明了工程设计优化中认知不确定性的主要来源和表现。
针对认知不确定性的不同来源，结合工程实际，可以采用不同的解决方法对其进行量化处理(如可能性理论U、证据理论[[23,24]凸集模型[}2}]等)，在下一章节，我们将对几种认知不确定性的处理方法进行介绍，并重点阐述本文采用的可能性理论和方法。
在对随机不确定性和认知不确定性的来源及其处理方法进行简单的介绍之后，不难看出，在处理不确定性的方法上，概率(随机)方法己得到了较多的研究，并取得了很多的研究成果，应用较成熟。但是，在工程设计优化的过程中，尤其是在设计的早期阶段，由于获取的信息不完备或是工程设计人员的知识不足而普遍存在着认知不确定性，这一点在大规模复杂系统中体现得尤为突出。对于认知不确定性，传统的概率方法很难对其进行处理，迫切需要开展对于认知不确定性处理方法的研究，因此本论文的研究也以对认知不确定性的处理为前提。
2.国内外研究现状
在处理认知不确定性的问题上，可能性理论(Possibility Theory)近年来得到了迅速的发展，现今己成为机械和结构工程中处理认知不确定性的重要工具。
Zadeh教授于1978年创立了可能性理论，最初意在将其用于处理基于自然语言表达和模糊命题表示的知识(信息)不确定性[6]。Dubois与Prade在1988年给出了可能性理论的更详细论述.1997年De Cooman系统化了可能性理论己有的观点[8]。Kli:也对可能性理论从公理背景上提出了许多建设性的观点[m0
可能性测度和可能性分布是可能性理论中的重要概念。Zadeh最初从自然语言表达的模糊性角度出发，将变量在论域上的取值由概率论中的一个点扩展到集合与区间的概念，其提出的可能性程度与模糊集合隶属度之间的联系[m，在可能性理论的诸多解释中是最显著和有用的。而其他多位研究者也对可能性测度给出了不同的解释，如上概率(Upper Probability)解释、信任度(Belief Measure)模型解释以及基于相似度函数(Likelihood Functions)和认知态(Epistemic States)的解释等，丰富了能性测度定义的内涵f}-}l，同时可能性测度的定义本身也被不断深化。De Cooman在测度与积分论的理论背景下研究了可能性理论[fgl，提出了可能性测度的一般定义，并采用半赋范(Seminormed)方式推广Sugeno模糊积分和积分域，提出了可能性积分、可能性变量等概念以及与Lebesgue积分理论类似的定理和运算结论。继续考虑用完备格取代完备的布尔集代数，De Cooman和其合作者又证明了满足可能性测度扩张的充要条件「}o}，以及对应的可能性积分的单调收敛定理。基于一般测度意义上的研究工作，最近Mesiar讨论了同构C Homeomophisms)意义下的测度和积分，提出了规范的可能性积分的概念「y用以集成模糊测度论包含的多个分支并保留原有的属性(如可能性和必要性测度的二元性)。理论框架本身的构造还包括可能性上、下均值(Lower Possibilistic and Upper Possibilistic Mean)和方差的引入[}a]以及可能性分布的构造等。可能性逻辑CPossibifistic Logic)的提出，使可能性理论更适于评价的合成、传递与修正，因而在更多领域获得了应用。
目前己有学者开始探索将可能性理论引入产品的设计优化中，并取得了一些初步的研究成果。Du, Choi和Youn提出了一种新的基于可能性理论的设计优化模型，并提出了一种最大可能性搜索方法以改进计算性能「’“]。他们还研究了同时存在统计数据和模糊数据情况下的基于可能性的设计优化(Possibility-Based Design Optimization, PBDO方法「I5]，提出了一种基于概率论与可能性理论相结合的思想和最保守条件来构造隶属度函数的方法。最近，他们对认知不确定性提出了一种新的可能性测度，并研究了基于此测度的PBDO方法「’“]。在国内，电子科技大学黄洪钟等在该领域做了大量卓有成效的研究工作「;-m。西北工业大学吕震宙和冯蕴雯等也开展了相关的研究，提出了一种不仅可以考虑基本变量的随机模糊性，而且可以考虑安全和失效状态的随机模糊性方法.
可能性分布是可能性理论中的一个支撑性概念，其重要性类似于概率论中的概率分布。可能性分布的获取和构造是一个至关重要的问题，目前己开展了一些这方面的研究。有关概率分布与可能性分布两者之间相互转换的研究始于Zadeh的一致性原则[6]o Yage:提出了概率分布与可能性分布的比列转换.Civanlar和Trussell认为模糊事件发生的概率p应处于某一给定的阂值之上，并由此提出了由概率到可能性的T转换[[22] o K11:等学者研究了基于信息不变性的线性转换方法[42,4G]。基于转换的基本原则，DLl1}O1S和Prade提出的转换方法是目前比较被认可的有限集合情况下概率分布至可能性分布的转换方法之一[}}s}。而Masson, Denoeux等学者在此基础上进行了由不精确概率至可能性分布的转换方法研究[[43]
3.课题来源及研究意义
本文的研究内容来源于国家自然科学基金青年科学基金项目“基于可能性理论的认知不确定性条件下多学科设计优化研究”(项目编号:50805018)0
多学科设计优化所针对的对象通常是大规模复杂系统(如航空发动机、重型燃气轮机等)，具有结构复杂、造价昂贵等特点，并且工作条件经常改变，因此通常较难或无法获得足够的统计数据，数据不足和信息不完备现象普遍存在，存在大量的认知不确定性。在这种情况下，传统的概率(随机)理论和方法遇到了很大困难。
对认知不确定性进行表达和度量时，主观评价的适时引入和专家经验的合理运用可以弥补信息或者知识的不足。这时我们关心的不是“真值度”C Degrees of Truth)问题，而是“可信度”< Degrees of Confidence)的问题，所以不能简单地依靠概率论和模糊集合的相关原理解决。可能性理论框架下的不确定知识推理能力比较适合处理此类问题。作为模糊集合论应用的理论框架和一种传统概率论的替代工具，可能性理论己在近似推理、人工智能、知识工程、风险分析、自动控制和数据融合多个领域初步使用。
作为可能性理论的一个支撑性概念，可能性分布的获取和构造直接影响到产品设计优化、可靠性分析等等的结果。目前对于可能性分布构造的研究大多集中在论域为无限不可数集合的分布类型或参数己知的连续分布情况，以及样本容量较大的情况，且大多数仅限于一维分布的讨论。然而在工程实际中，对认知不确定性的处理往往面临着未知概率分布或小样本等问题，因此本文开展了认知不确定性条件下可能性分布的构造方法研究，提出了数据不足或信息不完备条件下的可能性分布构造方法，为后续的设计优化或可靠性分析等工作奠定良好的研究基石出。
4.本文的主要工作
正如上面所提到的，现阶段对可能性分布构造方法的研究大多集中在连续条件下的一维分布情况，且所需的样本量较大。然而在认知不确定性的前提下，工程人员面临着数据来源不足或信息认知不完备等情况，往往对于可能性分布的准确性及处理能力有着较高的要求。因此，本文针对实际工程的需要和现阶段可能性分布研究中的不足，开展了认知不确定性条件下可能性分布的构造方法研究。本文的主要工作及创新点如下:
(1>针对目前的研究均是基于一维可能性分布的情况，对有限集合条件下的可能性分布基本构造方法在二维及多维情况下进行简单推广;
(2)对概率分布至可能性分布转换的基本原则及现有方法进行研究和分析，提出了一种基于最大确定性原则的可能性分布构造方法(MSBPD，减小了在转换过程中信息的损失。同时，提出了一种可能性分布最大确定性程度的考查方法，利用该方法进行仿真对比，说明了MSBPD方法在最大确定性程度上的优势;
(3)针对大规模复杂系统进行优化设计时可靠性数据来源不足的情况，通过引进Sison-Glaz同时置信区间，提出了一种小样本条件下的可能性分布构造方法。论文中对所提出的可能性分布构造方法的收敛性、覆盖概率指标等进行仿真验证，以考查在小样本条件下其在各指标上的表现。同时，给出了实际的工程算例。
本文的组织结构安排如下:第二章主要对目前的认知不确定性处理方法进行简要介绍，并通过对模糊数学和可能性理论的着重讨论，引出可能性分布的重要概念，为后面的研究作铺垫。第三章介绍了现有的可能性分布构造方法，这是本文方法提出的基础，之后对有限集合情况下基本可能性分布构造方法在二维及多维情况下进行了推广。第四章在对概率区间至可能性分布构造方法进行介绍之后，提出了一种基于最大不确定性的可能性分布构造方法以及最大确定性程度的考查方法，并进行了仿真比较。第五章通过对Sison-Glaz同时置信区间的引进，提出了一种基于小样本数据的可能性分布构造方法，并对其在覆盖概率、收敛性等方面的表现进行了验证，之后给出了具体的算例。最后，第六章对本文研究内容作出了总结和展望。
参考文献
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[18]郭桂蓉.模糊模式识别.长沙:国防科大出版社，1993
摘要 4-5
ABSTRACT 5-6
第一章 引言 10-17
1.1 课题背景 10-13
1.1.1 不确定性的来源及分类 10-11
1.1.2 随机不确定性及其处理方法 11-12
1.1.3 认知不确定性及其处理方法 12-13
1.2 国内外研究现状 13-15
1.3 课题来源及研究意义 15-16
1.4 本文的主要工作 16-17
第二章 基于可能性理论的认知不确定性处理方法 17-27
2.1 认知不确定性处理方法研究 17-20
2.1.1 证据理论（Dempster-Shafer Theory of Evidence） 17-18
2.1.2 凸集模型（Convex Model） 18
2.1.3 模糊集理论（Fuzzy Set） 18-20
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第三章 可能性分布的构造 27-40
3.1 隶属函数构造可能性分布 27-31
3.1.1 模糊统计法 27-28
3.1.2 待定系数法 28-29
3.1.3 启发式法 29-31
3.2 概率分布－可能性分布转换方法 31-36
3.2.1 基本转换原则 31-33
...................................................................................
3.3.1 二维概率分布 36-37
3.3.2 二维可能性分布 37-39
3.4 本章小结 39-40
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