基于波动方程中非结构化网络研究热点
导读：数值模拟作为波动理论一个重要的研究手段得到了许多研究人员的重视,采用有限差分方法对控制方程进行离散，计算区域的划分采用矩形结构化网格。由本站硕士论文中心整理。
第1章绪论
课题研究背景
波的传播是经典的物理问题。随着科学技术的不断发展，波动理论的研究在各类工程技术、军事技术等领域的实际问题中都有着重要的意义。如在轮机工程中存在大量的振动问题，不仅会使动力装置的精度和其他性能降低，同日寸会降低系统的隐身性能。例如，舰船轴系振动引起推进轴断裂、汽轮机组强烈振动和管路系的振动噪声等等。因此，以波动理论为基础，了解其振动传播的基本规律，从Ifu寻求实际解决的办法是很重要的一个方面。十是求解波动方程的数值方法研究也越来越得到重视。
波动方程是重要的偏微分方程，它可以表述所有种类的波，例如声波、光波、水波等等。通常，这些偏微分方程很难用解析方法求解，尤其在复杂的非均匀介质中。因此必须借助数值计算方法或其它渐近解。目前，求解波动问题所采用的数值方法主要分为这样几类，有限兀方法(Finite Elements Method，边界兀方法(Boundary Element Method)，伪谱法(pseudospectrac method)、有限差分方法(Finite Difference Method)，近年来还出现了界十有限差分法不I I有限兀法之间的有限体积方法(Finite Volume Method) .
其中有限差分方法是比较经典的一种方法，它是将波动方程中波场函数的空间导数和时间导数用相应的空间、时间的差分代替。有限差分方法计算速度快，占用内存小，能准确模拟波在各种介质中的传播规律，它以其简单高效的优点得到了很多研究人员的青睐。
然传统的有限差分方法也存在着一定的局限性。例如，因为其计算域网格往往是基十单一的矩形网格来进行划分的，当面临计算域有弯曲界面或起伏表面时，就会使得其计算受到限制;Ifn又因为其计算是基十固定步长的网格进行的，因此使得结果稳定性变差。面对这些缺点，很多研究人员便开始了对有限差分方法进行优化改进的工作。对十改进差分方法的研究也逐渐成为波动理论的数值方法研究中的一个热点问题.
1.2.1国内外发展概况
求解波动问题常用的几种数值方法
求解波动问题所采用的数值方法主要有这样几种，有限兀方法，边界兀方法，伪谱法、有限差分方法，还有近年来出现的有限体积法。
有限兀方法的基础是变分原理和剖分插值。把边值问题转化为变分问题，使其对应的欧拉方程等十待解的微分方程，然后经过剖分插值方法求解其泛函的极值函数，解出待解的边值问题。通过灵活的网格划分，使得其能处理多种介质和边界条件，模拟精度较高，但是有限兀方法的问题在十其不适肩{大规模的模型计算，b_计算量大.
边界兀方法对时间变量进行一维傅氏变换，把波动问题转换为Helmholtz方程边值问题，再利用格林公式将新的边值问题转化为积分方程，最后用边界单兀法求解此积分方程。与有限兀法相比，边界兀法把所讨论问题的维数降低了一维，所用节点数比有限兀法少，但是边界兀法得到的代数方程组所对应的矩阵一般是非稀疏的，有限兀法得到的代数方程组对应的矩阵一般是稀疏的，因此对同一问题的处理所需的存储量和计算量未必比有限兀法少.
伪谱法也称虚谱法。是在20世纪七十年代引入数值模拟计算领域的，它是将波动方程中的空间微分变换成频域中的乘法运算，只需要较少的空间格点就可以得到较高的计算精度。可以看成是一种无限阶的有限差分法，是传统有限差分法的一个推广。伪谱法在粗网格上也能实现高精度的计算，相对有限兀法实现起来较容易.
有限差分法，是一种最常用的数值模拟方法。它是对波动方程中的微分用差分近似代替，把波动理论上的微分形式变成适用十数值计算的差分形式，得到差分方程。在数值模拟计算时，给定初始条件，通过差分方程即可由空间中过去时刻的波场值的分布和变化推导出当前时刻的波场值分布。有限差分法有两种算法:显式算法和隐式算法。有限差分方法在模拟波传播的计算中有两个主要的优点:(1)能够模拟介质的完全响应，描述波在介质中传播产生的反射、透射和散射等所有振相，其精度仅受网格密度和网格区域大小的影响;;(2)网格划分灵活、简单。与其它方法相比，更适用十非均匀复杂介质模型的波场模拟.
有限体积法是上世纪60年代被引入数值计算领域的。但直到80年代以后，才得到快速发展和应用。有限体积法最著名的应用对象就是守恒方程，这也是有限体积方法在计算流体力学领域受到欢迎的原因。有限体积法适用十非规则网格，并目_兼备有限差分方法计算量小，容易实现的优点。在规则网格上，有限体积法基本退化为经典的有限差分格式，甚至在非规则网格的应用上，两者也有着密切的关系。但是两者在数值算法的构建上两者有着本质的区别，差分方法针对微分算子，基十插值定理;有限体积法针对的是通量，基十积分定理.
1.2.2有限差分方法的研究现状
有限差分方法有漫长的历史，源十牛顿、欧拉等人的工作，他们曾用差商代替微商以简化计算。1928年，库朗、卢伊等人证明了二大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为现代有限差分理论提供了基础。冯·诺伊曼十1948年对无粘流体(非线性双曲型)方程提出的引入人工粘性项的差分方法，他还同时提出计算稳定性概念和线性化傅立叶方法来分析稳定性。在现代，有限差分方法应用十各类微分方程和积分一微分方程的各种定解问题，如常微分方程初值问题、边值问题，偏微分方程初值问题、边值问题，玻耳兹曼方程，计算流体力学等等。
有限差分方法是在非均匀介质中模拟声波和弹性波传播的主要的数值方法。因为有限差分方法的实质是将波动方程中的偏微分算子用差分算子代替，因此差分格式决定了差分算法的稳定性，网格的划分决定了算法的精度。Alterman等人最早用显示差分格式得到了层状介质二阶弹性波方程的离散数值解。Boore十1972年提出了非均匀介质二阶弹性波有限差分方法。80年代，Virieux完成了弹性介质的P-S V波和SH波的速度一应力方程组的正演计算。国内也有很多学者将这一格式运用到波场数值模拟中，揭示了波在地下传播的一些特性。
参考文献
[1]杨莹.二维地震波场有限差分法数值模拟研究.中国地质大学.硕士学位论文.2009:1-30页
[2]李胜军.波动方程变网格步长有限差分数值模拟.中国石油大学硕士学位论文.2007:1-20页
[3]王春燕.高阶交错网格有限差分地震波计算.成都理工大学硕士学位论文.2007:1一18页
[4]刘庆敏.高阶差分数值模拟方法研究.中国石油大学硕士学位论文.2007:1-20页.
[5]褚春霞.非规则网格有限差分法声波方程地震正演模拟及逆时偏移.中国海洋大学.2003:1-15页
[6]Virieux, Jean. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity Stress finite-difference method. Geophysics, 1986, 51(4): 889-901P
[7]Levander,A.R.Four order finite difference P-SV seismograms. Geophysics, 1988, 53(11): 1425一1436P
[8]Crase, E. High order(space and time)finite difference modeling of the elastic equation.60th Ann. Internat. Mtg .Soc. Expl. Geophys, 1990:987-991P
[9]Magnier, Peter, moro. Finite difference sonminimal grid. Geophysics, 1994 59(9): 1435一1443P
[10]周家纪，贺振华.模拟地震波传播的大网格快速差分算法.地球物理学报，1994:37(增刊):450-454页
[11]董国良，马在田等一阶弹性波方程交错网格高阶差分解法「J].地球物理学报.2000:43(3):411--419页
[12]裴正林.任意起伏地表弹性波方程交错网格高阶有限差分法数值模拟.石油地球物理勘探.2004, 39(6):629-631页
[13]福军.计算流体动力学分析一CFD软件原理与应用.北京:清华大学出版社.24-62页
[14]Tielin Liu, kaishin Liu, JinXiang Zhang. Unstructured grid method for stress wave propagation in elastic media. Comput. Method, 2004,(193):2427-2452P
[15]吴永刚，吴清岭.有限差分法弹性波数值模拟.大庆石油地质与开发.1994, 13(3):1-6页
[16]张剑锋，刘铁林.各向异性介质中弹性波的数值模拟.固体力学学报.2000 21(3):234-242页
摘要 5-6
Abstract 6
第1章 绪论 10-16
1.1 课题研究背景 10-11
1.2 国内外发展概况 11-14
1.2.1 求解波动问题...................................... 11-12
1.2.2 有限差分方法的研究现状 12-13
1.2.3 有限差分方法的相关改进 13-14
1.3 本文的主要研究工作 14-16
第2章 求解波动方程的数值方法 16-30
2.1 引言 16
2.2 特征线数值方法 16-17
2.3 有限元方法 17-18
2.4 有限差分方法 18-26
2.4.1 差分格式的建立 18-21
2.4.2 差分格式的收敛性 21-22
2.4.3 差分格式的稳定性 22-23
2.4.4 差分格式的精度 23-25
2.4.5 数值耗散与频散 25-26
2.5 有限体积法的简介 26-28
2.6 结构化网格................................ 28-29
2.7 本章小结 29-30
第3章 固体中的波动控制方程 30-52
3.1 一维固体波动控制方程 30-32
3.1.1 一维固体应力波方程 30-32
3.1.2 一维固体波动方程 32
3.2 二维固体控制方程 32-35
3.3 三维固体控制方程 35-36
3.4 基于................................ 36-39
3.4.1 Lax-Friedrichs 格式 37
3.4.2 采用Leap-frog 格式进行离散 37-38
3.4.3 一维波动方程的离散 38
3.4.4 二维固体波动方程的离散格式 38-39
3.5 基于非结构................................ 39-42
3.6 基于非结构化改进差分方法的网格读入 42-44
3.7 程序流程图 44-46
3.8 边界条件 46-51
3.8.1 一维无反射边界条件 47-48
3.8.2 一维全反射边界条件 48
3.8.3 二维无反射边界条件 48-50
3.8.4 二维全反射边界条件 50-51
3.9 本章小结 51-52
第4章 基于有限................................. 52-67
4.1 引言 52
4.2 一维固体应力波的数值模拟 52-57
4.2.1 Leap-frog 格式 52-53
4.2.2 Lax-friedrich 格式 53-54
4.2.3 波动方程 54-56
4.2.4 一维模拟中的问题 56-57
4.2.5 一维计算结果总结 57
4.3 二维固体应力波的数值模拟 57-66
4.3.1 瞬间脉冲 57-60
4.3.2 连续波 60-62
....................................................................
致谢 86-87
您可能有项目工程硕士学位论文方面的购买需求，请到工程论文硕士论文频道选取：