第一章绪论
1.1课题研究的背景
随着人类对自然界的探索不断深入，现代科技的迅猛发展和科学研究方法的不断更新，掌握复杂性科学在未来科學研究中必不可少。通过从简单系统到复杂系统、平衡系统到非平衡系统的研究，表明复杂系统和非平衡系统对应着非线性区域的特性，非线性区域的解决可以更多的阐释自然规律。Q20世纪60年代以来，非线性科学和复染性问题的研究，在国际上掀起了一股热潮，成为了经济、社会、生物等诸多领域的前沿课题，逐步形成了一门庞大的学科群——协同学、耗散结构理论、突变论、超循环理论、混純学、元胞自动机理论、复杂网络等，以研究非线性为特征的非线性科学。它的蓬勃发展，极大的改变了当代科学家的研究模式。非线性复杂科学的发展是建立在简单线性科学的基础之上，要谈及非线性科学，就必须提及线|注科学。在19世纪以前，科学研究是建立在比较简单、稳定的条件下，如果研究的对象行为和结构比较复杂，也是将其简化成为一种简单的、直观的现象来模拟。在物理学上有著名的牛顿力学、对电磁场描述的Maxwell线性偏微分方程组、牛顿粘性定律等诸多的系统是用线性微分方程来描述的。随着科学研究方法的不断更新、认识自然层次不断加深，人们发现很多自然现象用线性模型解释时，涌现诸多方盾结论(世界本质上是非线性)。为了能诠释这些线性科学解释不清楚的问题，引入叠加原理，解释了一些现象，但没有得到本质的解决。直到非线性科学的诞生，而诺贝尔奖获得者I.Prigogine提出了 “耗散结构理论”和“组织原理”，从本质上揭示了非线性科学的特征⑴。随后，由H.Haken先生创建了 “协同学”理论，并且对“自组织”进行了全面的阐述。再之后，Lorenz发现混纯，Mandelbrot提出分形，让复杂性非线性科学得到了空前的发展。非线性复杂科学的逐步形成，使人类认识自然的方式和思维发生了巨人的转变。之前，一直利用线性系统来处理自然问题，即在已知确定的初始条件下，来预测未来状态的过程，哪怕系统初始条件有微小的变化，对系统未来的状态的只有微弱的影响。
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1.2国内外研究现状
对于河网系统，在非线性动力学方面，一些学者在理论方面做了一些相关的工作。但，迄今为止还没有建立一个能够被普遍接受的理论，来阐明实验中的一些标度规律的成因，几乎在这方面的工作采用动力学稳态——最优能耗理论，与河网实际统计结果对应来获相应的阐述。基于稳态的特性，有学者用类似于Boltzmann分布对河网演化过程进行了热力学描述，但在多尺度的角度下涌现了一些不足。耍想从河网演化的本质揭示自然现象，须采用一些类似于河网系统的理论处理，非平衡统计理论的方法和思想、复染系统的统计动力学模型和开放系统——结构耗散理论的基础。目前，国内外学者试图用耗散结构理论解释河道形态的演化和分形理论对河长、流域面积的分布等相关方面的研究，取得了一些突破性的成果。但，遗憾的是这样的工作只足限于定性说明，没有能定量的描述其演化的本质。河网的形态——千奇百怪、形态各异。根据大量的统计数据，我们将河道形态划分为弯曲河道、顺直河道、辫状河道(游走型河道)，如此多样的河道形态是如何形成的？主要是由于河道形态的形成受到自然环境的剧变、受到人类在日常活动中强行施加的“外力”、受地理位置约束、河床和河网参数之间的复杂相互作用等等因素的影响，但如何能探究清楚各参量之间的定量关系，是一个相当复杂而庞大的工程等等，一些学者利用水沙规合、反馈(正反馈和负反馈)关系建立网络动力学模型，试图去理解自然河网的动力学行为。这些作为认识河网的动力学演化过程提供了一些理论手段：河道形态的形成、河网的二分树结构、河道形态的冲游双临界现象等等。在这些河网的特性中，二分树结构是如何形成的，这样的结构使河道参数服从什么的分布，相关领域的科学家做了一些实际河网参数统计，发现河道的梯度、宽度、深度与流量之间成幕律关系[5]；梯度与流域面积之间成负幕律关系；J. T. Hack提出了河长和流域面积之间成负幂律关系[7]。但没有一篇文章报道河网这些结构和统计结采是如何建立起来的？它的演化历史又是什么？本文第一部分试图从动力学角度建立河道演化的模型，分析河道参数的一些标度规律的形成过程。
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第二章河网演化的统计动力学
2.1引言
在自然界中诸多分布揭示了在一些标度变化的不变性，幕律分布深厚的科学意义吸引了大量科学家的关注，譬如自组织临界现象(颗粒物的分布复染网络的演化(度分布的特自然选择模式：例如，河网分形和它的标度行为等等。众所周知，河网系统是研究自然系统不同参运和输入变量之间标度关系，河道长度、流域面积以及能量耗散的概率分布在河流网系统中，Leopold提出了开创性研究领域，揭示河道的坡度、宽度和深度之间的幕律关系，从那时起，实证研究和理论研究进行了儿十年的蓬勃发展。借助自然流域的数字化图像处理，表征河网大尺度的测量和特性成为了现实。Rodriguez-Iturbe等人证明了自然河网流域面积的累积概率服从幕律分布，世界能演化成为幕前这种结构，土耍是由于上述所描述的幕律分布支配下的结果。换句话说，是什么导致了标度关系？尽管做了人的工作从本质上理解一个完善的选择机制，但这个问题仍然可能是不唯一的》关于这种问题模耶的理论研究成了主耍的。Leopold首次借助丁-随机游走项方式模拟了流体在起伏地表上方向任意变化的河床演化的模拟研究的输出爱能有效的描述真实流域的特性。被称为地形演化的模观人多数是根据流体的性质建立内部佼烛导致河道随机伸长改变地貌的局部高度。
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2.2河道演化的随机动力学方程
我们建立了河网初期演化过程中，河道延伸的随机动力学过程的广义郎之万方程。确定项是源自于侵烛规律，而随机项由于随机降雨量、集雨面积、地质情况和河道参数(宽度和深度)等共同决定的。这个方程可以转变成Foklcer-Plank方程来描述河长的概率分布。Fokker-Plank方程的含时解可以巧成幕函数和指数函数的乘积形式，被称作指数幕分布。它表明了在初始发展过程中河长分布的转变。开始是高斯分布，之后，高斯分布逐渐变形，使其对称性破缺(在这个过程中，分布曲线的左边逐渐被歪食)。最后，转变成了一个带有尾巴的幕律分布。应用在统计意义上的河道长度和流域面积的关系——Hack定律，我们可以从标志成熟河道或者已经发达的河道的河长幕律分布得到流域面积分布。对于河道长度分布的幕指数得到一个合理的值，流域面积分布的结果也楚一个合理的取值范围。就它的意义而言，这里的幕律分布是河网成为有序相、组织态的标志，而类高斯分布是河网从无序趋向有序相的标志性代表。尤其值得注意的是，高斯分布揭示演化的初始阶段，河网可能是完全随机和无序的。特别望耍指出的是上述那些结果揭示了河网的流域面积和河道长度的'幕律分布是动力学演化的确定性和随机性共同作用的结果。
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第三章河型转变的动力学研究........ 14
3. 1引言........ 14
3. 1. 1课题研究意义及现状........ 14
3. 1. 2理论依据 ........14
3.1.3主要研究内容及创新点........ 15
3.2协同学基本理论........ 15
3.2. 1方程的主要形式........ 16
3.2.2非平衡相变及空间的演变........ 22
3.3广义流原理在河网中的应用........ 25
3. 3. 1广义流理论........ 25
3. 3.2建立河网中的序参量方程........ 28
3.3.3涨落引起的河网冲淤平衡分........ 30
3.4结论与讨论 ........35
第四章形成湍流结构的过程研究........ 36
4. 1 引言........36
4.2流体方程的建立........ 36
4. 2 求解 Navier-Stokes 方程........ 41
4.3结论及展望 ........46
第四章形成瑞流结构的过程研究
4.1引言
流动是在宏观世界中物质、能量传递基本过程之一，象千变万化的大气流、格式各样的瑞流现象。而这些复杂多变的现象，是由于流体具有粘性。粘性是流体抗拒流动能力的度量，是流体之间相互作用加强的动力，使流态失稳形成复杂流动(包括糖流)。当Stokes引入粘性力与切应力成正比的关系建立了Navier-Stokes方程为核心的流动理论，Navier-Stokes方程就被称为是研究复杂流体最基本的依据，随之不断地提出雷诺平均方程、边界层理论、稳定性理论、祸动力学等诸多对流体处理方式，都是该方程的一种形式的理想化、结构化后的形式。但是随着流动中的各种现象复杂现象不断地被发现，试图用经典理论体系解释显得有些力不从心，对瑞流中丰富的祸旋现象，包含有高度耗散的小尺度祸旋、不断从主流获取能量并通过级串过程传递能量的大尺度祸旋，解释就更是无从下手。试图在理论上建立一种普适的瑞流模型是一件让所有人期待的事。端流问题一直是人们心里的难题，很多科学家试图想从不同的角度去解释那些复杂现象，做出了一些相当不错的成绩：如，Speziale建立了非线性的祸粘性模式；Haworfh和Pope依据概率密度函数’借助Langevin方程重新构建了控制方程；Yakhot和Orszag提出了基于重整化群思想的端流模式Navier-Stokes方程进行了修正，引入了系统的随机项，认为系统的变化是由随机项引发的。
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结论
通过对N-S方程的卞解析解的调研，不同的参数空间下，流体的流线结构复杂多样，这里我们得到了层流和湍流以及类似中心、焦点、鞍点等非常丰富的流线结构。考察了改变压强梯度和粘性系数对涡流结构的影响，发现当加强压强梯度时，系统的涡流逐渐加强，波及的区域也逐渐扩大。在上述的调研中，我们还存在一些问题有待解决，比如流体结构的涡度，焦点、鞍点等复杂结构的过程是如何建立起来的，它们的建立与那些参呈有关，流体是如何随着时间演化的等等，这些能解析湍流本质上的细致结构还没有能完全剖析，希望能在日后的工作中能解析这些动力学机制。
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参考文献（略）