第一章绪论
1.1研究背景及意义
随着社会经济的发展，各种产品层出不穷，市场竞争日趋激烈，在这种环境下保证自身产品的竞争优势至关重要。一般来说产品质量是消费者最关心的一个问题，而质量的好坏往往由产品的使用寿命来衡量，因此通过对产品寿命的研究能够有利于生产者对产品质量的控制和改善。Surles和Padgett [3]通过对Burr X与weibull分布、Gamma分布和广义指数分布（这些分布常常用来处理一些偏态的寿命数据）的比较研究发现，BurrX分布与这些分布的形状和性质具有一定的相似性，并且在某些情形下分析更为方便，因此在处理某些寿命数据时，常将Burr X分布作为这些分布的替代分布。Burr X分布能够作为某些分布的替代分布并且其自身在处理一些具有偏态分布的数据方面也有优势，因此近年来Burr X分布越来越引人关注，不少学者做过这方而的研究，这些研究大致可以分为两个方面：寿命数据和强度数据的应用研究，下面将介绍一些主要的研究成果。Sartawi，Ahu-Salih(1991) [4]和 Jaheen(1995) [5]分别讨论了基于截尾样本的单参数的BurrX分布的贝叶斯区间预测和基于无效观察样本的单参数的Burr X分别的一步样本外贝叶斯预测；Raqab(1998) [6]主要考虑了单参数的Burr X分布的第r个秩序统计量的概率密度函数及其矩的运算，另外还提供了计算秩序统计量的分布的峰度和偏度的方法（对于不同的r，样本量0和Burr X分布的参数A); Aludaat et al (2008) [7]则是通过对分组的来自Burr X分布的数据的讨论，给出在此情形下的Burr X分布的参数估计方法；Liu和Ren[8]考虑了在不同的损失函数下，Burr X的极大极小估计；Jaheen(1996) [9]利用BurrX分布对寿命数据进行建模，通过对模型的研究分析获得了模型的可靠度函数和失效率函数的贝叶斯和经验贝叶斯估计；Kundu, Raqab (2008) [10]考虑两参数的Burr X分布的参数估计问题，提出了几种估计参数的方法（不包括贝叶斯估计方法）并运用蒙特卡洛方法对这些估计方法进行了比较分析。
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1.2创新点及主要内容
本文的主要创新点有以下三个方面：（1)利用四种贝叶斯方法求解单参数Burr X分布的参数估计，并对其进行了比较研究；（2)分别在两类分布族下对单参数Burr X分布参数的贝叶斯估计稳健性进行了分析；（3)利用两种近似方法获得了两参数的Burr X分布参数的贝叶斯估计，并对其优良性进行了比较分析。本文的内容主要分为五个部分。第一部分为绪论，主要介绍了本文的研究背景、研究意义、创新点和文章内容。第二部分讨论了单参数Burr X分布的参数估计问题，其中涉及到参数的一致最小方差无偏估计、熵损失下的贝叶斯估计、经验贝叶斯估计和多层贝叶斯估计、E-Bayes估计，经验贝叶斯估计的渐进最优性的证明，估计的优良性的比较。第三部分主要考虑了贝叶斯估计的稳健性问题，分别讨论了在共辄先验分布族和污染分布族下，Burr X分布的贝叶斯估计的稳健性。第四部分讨论了两参数的Burr X分布参数的贝叶斯估计，由于所得到的贝叶斯估计是一个复杂的积分表达式，无法得到解析解，因此本文分别运用了两种方法一Lindley’ s近似和MCMC方法来获得其数值解，并分别运用这两种方法对一组仿真数据和真实数据进行了分析比较。第五部分是总结和展望，主要是对本文的工作进行总结，同时也为对Burr X分布做进…步研究提供了思路。
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第二章单参数Burr X分布参数的贝叶斯估计
2. 1贝叶斯估计和经验贝叶斯估计
在参数的所有无偏估计中，一致最小方差无偏估计具有最小的方差，通常求解参数的一致最小无偏估汁需要借助于充分统计量的概念，没有一个常规的求解方法，所用方法就是获得一致最小方差无偏估计的最常用的方法。经验贝叶斯(简称EB)方法的思想最初起源于von Miles(1942)[40],后来在Robbins(1955)[41]和 Efron & Morris(1972，1973，1975)的工作下[42-44]，该方法变得流行。事实上Robbines和Efron & Morri s提出的经验贝叶斯方法又有所不同，前者一般称为非参数经验贝叶斯（NPEB)方法，该方法主要是利用非参数的方法来完成贝叶斯估计，对先验分布分布的信息需求较少，一般只对其矩条件有一定的要求，对先验分布的具体形式则没有要求；而后者-般称为参数经验贝叶斯（PEB)方法，该方法主要是需要知道先验分布的具体形式，对其参数则不作要求，然后利用历史样本来估计其参数，再进行贝叶斯估计。在实际应用中，PEB方法用的较多，事实上很多学者认为NPEB方法并不是真正的贝叶斯方法，其关键是利用非参数方法来估计先验分布，因此本文将采用PEB方法来对BurrX分布的参数进行估计。
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2. 2多层Bayes估计和E-Bayes估计
为了解决先验分布的稳健性问题，I. J. Good在1956年首次提出了多层Bayes估计[46],事实上多层Bayes估计是一种构造先验分布的方法，利用该方法构造的先验分布被认为是目前性质最稳健的先验，该方法构造的先验也称为多阶段先验（Lindley, Smith 1972)[47]。注意到，多层贝叶斯估计为两个积分之比的形式，直接求解往往非常困难甚至不肯能，因此在实际应用中一般采用数值解法，本文在处理这个积分问题的时候所采用的是一种计算机模拟方法一蒙特卡洛积分，下面将结合Burr X分布参数的多层贝叶斯估计介绍这一方法。当考虑到拥有一定的历史数据的时候，经验贝叶斯方法被用来估计参数a，我们证明了当历史样本的规模趋于无穷时，经验贝叶斯估计收敛于贝叶斯估计，并且在一定的条件下经验贝叶斯估计是渐进最优的。多层贝叶斯估计往往具有较好的稳健性，本章在假定超参数的先验分布为均匀分布后，对参数进行贝叶斯估计，从估计结果可以看出，多层贝叶斯估计会涉及到比较复杂的多重积分的计算，在计算上很不方便，为此，本文又考虑了参数的E-Bayes估计，利用该估计方法所得到的结果比较简单。最后利用蒙特卡洛方法，我们对经验贝叶斯估计收敛于贝叶斯估计及其渐进最优性进行了仿真；并在C取不同值时，非正式地讨论了多层贝叶斯估计和E-贝叶斯估计的稳健性，结果表明多层贝叶斯估计和E-贝叶斯估计对不同的C并不敏感，比较稳健，并且这两个估计的相差不大；不同的样本容量下，我们对一致最小方差无偏估计、经验贝叶斯估计、多层贝叶斯估计和E-Bayes估计的均方误差进行了仿真分析，结果表明当样本增大时，各个估计的均方误差都会减小，而在样本相同时经验贝叶斯估计具有较低的均方误差，精度较高，因此在实际应用，若只考虑估计的精度可以釆用经验贝叶斯方法。
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第三章Burr X分布参数的贝叶斯估计稳健性分析......... 20
3.1定性的稳健性分析 ........21
3.2共轭先验下的稳健性分析........ 22
3.3 污染分布下的稳健性分析........ 23
3.4 小结 ........26
第四章两参数BuirX分布参数的贝叶斯估计 ........27
4.1贝叶斯佔计和极大似然估计........ 27
4.1.1贝叶斯估计........ 27
4.1.2极大似然佔计........ 28
4.2 Lindley........ 29
4.3 MCMC 方法........ 30
4.4数据分析........ 31
4.4.1模拟数据........ 31
4.4.2真实数据........ 34
4.5数值比较........ 37
4.6小结........ 39
第五章总结与展........ 40
5.1 总结 ........ 40
5.2 展望........ 41
第四章两参数Burr X分布参数的贝叶斯估计
4.1贝叶斯估计和极大似然估计
MCMC方法的主要思想是利用地迭代抽样算法，不断地抽取参数的样本，这些样本构造了一条或多条平稳的马尔科夫链，并且其平稳分布为参数的后验分布。因此当进行了一定的迭代次数后，fq以获得参数后验分布的样本，再通过这些样本对参数进行一些推断。在平方损失函数下，a和A的贝叶斯估计均为其相应的后验分布均值，通过MCMC算法来获得足够的参数后验分布样本。由大数定律可知，当样本足够大时，样本均值依概率收敛于期望，因此可以由这些说得到的样本均值来估计参数的后验期望，K而我们计算a和A的贝叶斯估计，在此过程中我们设《和A的先验分布分别为Gamma(2, 5)和GammaCl，2)。在平方损失下，利用Lindley近似所得到的a和/1的贝叶斯估计为G = 1.0371，1 = 0.0311，这一结果与实际值符合的很好。后验分布为Gamma分布，A的后验分布不是一种己知的分布类型，因此在MCMC过程中，对a和/1分别进行吉布斯抽样和M—II抽样得到相应的样本，迭代次数为2500次，去掉前面的500个样本，利用最终得到的2000个样本得到的a和A的估计为G = 1.2402，1=0.0325。图4. 2和图4. 3分别为a和A的后验样木的直方阁和其相应的模拟的后验密度函数。
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结论
本文主要讨论了两参数的Burr X分布的贝叶斯估计问题。首先给出了参数的极大似然估计，由于该估计形式复杂，无法得到极大似然估计的显示解，我们提出了一种迭代算法，通过该算法能够快速地得到参数极大似然估计的数值解，并且随着迭代次数的增加数值解无限趋向于解析解。随后我们考虑了在平方损失函数下，先验分布取伽马分布时，Burr X分布参数的贝叶斯估计，由于贝叶斯估计的形式复杂，无法得到解析解，我们给出两种方法一MCMC和Lindley近似来计算贝叶斯估计的数值解。最后我们分别釆用了一组模拟数据和真实数据对这两个算法进行的实现，并且对各估计的偏度和均方误差进行了数值模拟和比较，结果表明贝叶斯估计的结果在偏度和均方误差上均优于极大似然估计，且同利用MCMC算法得到的贝叶斯估计相比，Lindley近似算法得到贝叶斯#精度略高，但计算更为复杂。
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参考文献（略）