绪论
网络由点和边构成，点表示系统中的元素，边表示元素之间的相互作用。复杂网络描述现实世界中各式各样的系统。近年来复杂网络成为研究热点，呈现广阔的前景，涉及生命科学，工程技术，经济管理等多个领域
1、复杂网络的研究背景
我们生活在复杂网络中，例如，在社会系统中，人与人之间的相互关系构成了朋友圈;在科学领域，学术论文的引用关系可以描述为引文网络;在生态系统中，食物链网能量化物种之间的相互作用;在现实社会中，电力网络、航空网等基础设施网络发挥着举足轻重的作用，万维网和国际互联网的影响也是不可估量，而我们体内蛋自质之间的相互反应组成了蛋白质相互作用网络，直接关系到人体的新陈代谢是否正常。
计算机的数据采集和计算能力等性能的提高使研究者可以涉猎庞大、复杂的系统。科学家致力于探索复杂网络的动力学行为、演化机制和结构功能。人们引入几个度量标准来刻画网络的统计属性:平均路径一长度( Average path length)来度量网络的连通性;集群系数(Clustering coefficient)反映网络的群聚特性;度相关性(Degrcccoefficient}用来衡量网络日，节点之间的连接关系;适应度(fitness)可以表征网络’卜节点固有的竞争能力等。
大量的实证研究2, 8,18, 19发现，大多数实际网络具有如下几个共同特征
(1)复杂性:网络的规模庞大，结构复杂。
(2)随机性:网络的演化过程不可避免地带有随机性，节点之间是否连接不是完全确定的。
(3)动态性:网络是开发的系统，通过增加新节点和新边，实现网络的增长。
(4)小世界效应:虽然网络规模很大，但是任意两个节点之间存在短路径，而且网络的平均路径长度随着网络的节点数增加呈对数增长，并且有明显的群聚倾向。
(5)无标度效应:大多数实际网络具有幂律度分布，存在极少数中枢点具，且节点之间度相关。
(6)鲁棒性:随机去除占大多数比例但拥有少数连接边的一些节点，不会对网络的拓扑结构产生重大的影响。
最初研究复杂网络是为了了解疾病在网络上的传播机制。经过漫长的认识、摸索，直至小世界网络和无标度网络的提出，复杂网络的研究进入一个崭新的阶段。复杂网络具有重要实际意义，例如，如何阻止计算机病毒在万维网上传播，如何防止黑客攻击互联网，如何设计有较强抗干扰能力的航空网、电力网等基础设施网络，如何有效利用有限的疫苗防治S}1RS, HIN1等传染病。未来的研究还将面临建立系统的方法论、寻找有限的数学工具，缺乏网络结构普遍的组织原则等诸多难题。
2、随机游动的研究背景
随机游动的研究历史悠久，最早见于赌博问题。通常用随机游动来描述赌徒在赌博过程中财富的变化，举个例子，设一个拥有财富为k的甲赌徒和一个拥有无限财富的乙赌徒进行赌博，甲赌徒每局赢一个单位财富的概率为，输的概率为1一pk，以x。表示经过n局后甲赌徒的财富，随机过程X。表示一个随机游动。
随机游动不仅可以描述赌博模型，而且可以刻画扩散粒子运动过程。1827年，英国植物学家布朗观察到液体中的小颗粒不停地进行无规则运动 1905年，爱因斯坦假设观察到的粒子受周围分子不停地碰撞，由物理定律导出这个现象的数学描述布朗运动是一个对称随机游动。
第1章 引言........ 9-17
1.1 网络的统计特征........ 9-10
1.2 度分布的计算........ 10-13
1.3 复杂网络的研究........ 13-17
第2章 具有四边形的人际........ 17-21
2.1 演化模型........ 17
2.2 解析分析........ 17-21
第3章 具有双向选择........ 21-25
3.1 演化模型........ 21
3.2 解析分析........ 21-25
第4章 医生与药物........ 25-31
4.1 演化模型........ 25-26
4.2 理论分析........ 26-31
第5章 结论与展望........ 31-33
结论与展望
在简单规则下，自然界可以呈现复杂结构，而在复杂背景下，自然界可以遵循简单定律。实际网络的演化过程并非完全随机，如何探索复杂系统的演化机制和动力学行为实证研究表明，许多实际网络具有高集群、短路径和幂律分布特征。人们建立各种网络的演化模型来模拟实际网络，虽然模型或多或少都有一点差距，但是推动了复杂网络的研究。
本文主要将随机游动应用于无标度网络的建模，提出三个有实际意义的网络演化模型，并加以理论分析。
参考文献
(1) Albert R, Barabasi A L. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys., 2002, 74: 47-97.
(2) Albert R, Barabasi A L,Jeong H. Diameter of the world-wide web. Nature, 1999 401:130-131.
(3)Albert R,Jeong H, Barabasi A L. Attack and error tolerance of complex networks. Nature, 2000, 406: 378-382.
(4) Almaas E, Kulkarni R V, Stroud D. Scaling properties of random walks on small-world networks. Phys. Rev. E, 2003, 68: 056105.
(5) Barabasi A L. Scale-free networks: a decade and beyond. Science, 2009, 325: 412-413.
(6) Barabasi A L, Albert R. E mergence of scaling in random networks. Science, 1999, 286: 509-512.
(7) Baraba,si A L, Albert R, Jeong H.Mean-field theory for scale-free random networks. Physica A,1999, 272: 173-187.
(8) Barabasi A L, Albert R, Jeong H and Bianconi.G.Power-law distribution of the World Wide Web.Science,2000,287,(2115.a).
(9) Brrat A, Barthclemy M, Pastor-satorras R, Vespignani A. The architecture of complex weighted networks. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 2004, 101: 3747-3752.
(10) Barrat A, Weigt M. On the properties of small-world networks. Eur. Ps. J. B, 200013: 547-560.