干式空心电抗器绕组过电压时域快速计算方法的研究

第 1 章 绪 论
 

1.1 课题背景及研究的目的和意义

电抗器作为一种电力元件，按照用途可以分为：并联电抗器、串联电抗器、限流电抗器、滤波电抗器、阻尼电抗器、消弧线圈、接地变压器、平波电抗器，以及光伏电抗器、防爆电抗器等其它特殊用途电抗器。从本质上来说单个线圈绕制而成的绕组就是电抗器，由于这种绕制中心只有空气而无其他介质，因此称这种电抗器为空心式电抗器。但为了做得更紧凑或为了使绕组磁通限制在一定空间内，常常在绕组内设有铁心，这种电抗器我们就称之为铁心式电抗器。由于铁芯具有磁饱和特性，铁芯电抗器是一种非线性元件，相反，空心式电抗器其磁路介质为空气，不存在磁饱和，因此是线性元件。某些情况下为了防止磁通外溢而在空心电抗器外部设置磁屏蔽，此种电抗器仍属于空心电抗器，但是因为磁回路中有磁性材料而减少了整个磁回路磁阻，其线性度将大打折扣。

本文采用 PEEC 对干式空心电抗器进行建模，将导体分割成小段进行分析。而由于干式空心电抗器绕组采用多包封、多层、小截面圆导线的多并联支路结构，内部绕组少则几千匝，多则几万匝，导线匝数庞多且绕制紧密，对其进行内部过电压分析需建立精细模型，该电路模型规模庞大，且导体间耦合较强。目前关于绕组类设备模型的求解仍大多采用直接求解方法[10-13]，由于模型规模较大，大型矩阵求逆不可避免，计算耗时且内存占用量大，甚至因方程维数过高而无法求解。迭代法由于具有计算量小、占用存储空间少的特点，因此更适用于大型问题，波形松弛法由于其分块求解的优越性，因此本文利用此方法进行求解。
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1.2 研究现状

1.2.1 PEEC 模型的研究现状

PEEC 模型是基于麦克斯韦方程组而推导出来的一种等效电路模型，将磁场模型转化为电路模型，是桥接磁场和电场的一种过渡。而由于是通过麦克斯韦方程组推导而出，考虑到了电磁波的时延效应，因此能够准确完整的描述电磁波传播行为。该方法建模求解思路是：首先将研究对象分割成元胞，然后计算这些元胞的自、互电感和自、互电容以及电阻电导，形成一个等效的复杂电路网络，最后使用电路分析的方法计算该等效电路[14]。PEEC 最初是于上世纪70 年代由 IBM 公司的 Ruehli 教授在计算复杂集成电路的电感时提出，目前在集成电路设计和分析解决 PCB 板互联封装问题时获得广泛应用[15]。在 20 世纪70 年代初期，Ruehli 意识到将复杂系统分段的好处，也即计算元段部分电感的方便性，因此建立了多导体结构的全耦合模型。1972 年，Ruehli 在他的博士论文中首次引入了部分元等效电路的概念[16]，在这个概念中同时使用了部分电感和部分电位系数作为路与场相互转化的桥梁，使人们对路与场的理解得到了全面深入。1973 年 Ruehli 和 Brennan 发表了一篇应用 Galerkin 法计算电容的论文[17]，在这篇文章中他引入了一种有效计算任意三维几何形状导体部分电位系数的方法。1974 年 Ruehli 首次发表了关于 PEEC 模型的论文[18]，这篇文章用积分方程的方法对路和场的关系进行了全面论述。1981 年 Wolff 和 Ruehli 又在文章[19]中引入了有效计算部分电感的多种算法，使复杂三维几何形状的部分电感计算有了新的突破。1989 年 Milson 等将一种非正交结构的 PEEC 模型应用到 PCB 板的电路仿真中[20]。1990 年 Heeb 和 Ruehli 引入一种用受控电压源表示元胞间时延的电场耦合的电位系数模型[21]。1992 年，Ruehli 在 PEEC 模型中加入电磁波的传播时延，并且考虑介质的存在，使得 PEEC 模型成为一个电磁场的全波解[22]。1993 年，Ruehli 等将 PEEC 方法进一步深入，以解决入射场的问题，同时还引入了一种新的等值电容模型，以适应 PEEC 节点电压法的实施[23]。

1.2.2 波形松弛法电路应用研究现状

波形松弛法是迭代求解方法中的一类重要方法，其基本思想是将系统分解为若干子网络通过迭代求解，由于各个子网络的规模相比整个系统小很多，利于缩减计算量，从而使大规模电路的仿真成为可能。波形松弛法首次被引入电路分析始于 Lelarasmee 等人[37]。文献[38][39]在利用波形松弛法求解 RC 梯形电路时发现算法的收敛速度具有频率相关特性，并提出了一种用于改善 RC 梯形电路低频收敛特性的改进波形松弛法。Gander M J 等人为了改善波形松弛法的收敛速度，提出了基于轴向分解的波形松弛法[40]。Nakhla M S 教授领导的课题组近年来针对印制板互联线系统的高效求解开展了一系列研究工作，提出了基于横向分区的波形松弛技术（Waveform Relaxation and Transverse Partitioning，WR-TP）[41-43]。该方法的基本思想是将传输线进行横向维数截断，即将多导体传输线分解为多根单导体传输线，导体间的耦合作用则是通过上一时间步得到的电压、电流结果以受控源的形式实现，然后经逐步迭代直至收敛。该方法的计算复杂度与导线的数量呈线性正比关系，因此具有较好的计算效率。进一步研究发现，波形松弛法的收敛速率取决于线路之间的自然耦合强度，随着线路间耦合的增强，WR-TP 达到收敛所需要的迭代次数将相应增加，对于强耦合的线路，WR-TP 算法所需的迭代次数极其庞大。为了解决该问题，文献[44]基于系统分解思想提出了一种基于重叠分区的强耦合多导体传输线系统的新型波形松弛法，该方法根据导体间的耦合强弱关系对整个传输线系统进行分解，耦合较强的传输线被分在同一子网络，子网络间含有若干公共导体，这种重叠分区的处理方式加快了算法的收敛速度。

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第 2 章 宽频电磁模型的建立及电磁参数提取
 

2.1 基于 PEEC 的干式空心电抗器宽频电磁模型

2.1.1 PEEC 介绍

多导体系统 PEEC 模型是 Ruehli 博士于上世纪 70 年代基于麦克斯韦方程组而推导出来的，该模型将电场积分方程以电路模型的形式表现出来，得到了麦克斯韦方程组的全波解。通过这种磁场电场模型的转化，多导体系统中的未知量，即导体表面电荷及电流密度用节点的形式表现出来，以便求解。

第一项表示：元胞 l 中电阻所产生的压降；

第二项表示：元胞 l 中电感所产生的压降：自感压降和互感压降；

第三项表示：元胞 l 中电容所产生的压降：自电容压降和互电容压降。文献[14]给出了三项的详细推导过程，这里不再赘述。

根据 PEEC 原则，需要对导体进行离散，换句话说就是需要将一个长度比较长的导体进行分段离散，将其每一段等效成新的小导体，如图 2-1 所示，将一个导体分割离散为 n 条小导体，导体横截面为环形，阴影部分为绝缘。

2.1.2 35kV 干式空心电抗器电磁模型

为了分析干式空心电抗器绕组匝间电压分布，将绕组每一匝分为有限的段数，段与段之间的电磁场耦合利用部分电感和部分电容描述。图 2-6 所示为一N 匝单层绕组及其电路拓扑图，根据绕组尺寸与波长关系将每一匝绕组分 k 段。为了示图清晰，未在图中标示出全部互电容，互电感以及对地电容，但其均存在。
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2.2 干式空心电抗器电磁参数提取

利用公式(2-14)求取电磁参数需要进行多重积分，计算过程非常繁琐及复杂[47]，本文根据所研究电抗器绕组结构特点对电抗器的电磁参数进行了提取并对其进行了验证。

由于电抗器绕组导体数量庞大，如果直接采用电磁场有限元计算软件进行电容参数提取，其带来的计算量巨大，无法实现，因此在具体实现过程中，将电容参数分为包封间的电容、匝间电容分别进行了详细的讨论，并获得了电抗器绕组电容参数矩阵的分布规律，最终实现了电容参数的提取，文中电容所采用的单位均为 pF。具体计算流程如下图 2-10 所示

理论上每个导体之间均存在电容，但是由于导体与导体之间的电容表现在电场中是由于导体表面附着的电荷，相邻线匝之间电场作用力所束缚的电荷远远多于非相邻线匝之间的电荷，这就导致相邻线匝之间的电容要远大于非相邻线匝之间的电容。取 3×3 匝的线圈进行说明如下图 2-11 所示，表 2-3 所示为 9匝绕组的电容参数。

通过表 2-4 可知，相邻线匝之间电容值远大于非相邻线匝之间电容值，是其几百倍，因此在计算绕组电容时值考虑相邻电容便可满足要求，忽略非相邻线匝之间的电容可以使参数矩阵极大的稀疏，致使计算量极大缩减，但是需要注意以下一点：对于图中所示第 5 匝绕组左上、左下、右上、右下方的线匝，即 1、3、7、9 号线匝，虽然与 5 号线匝之间的电容值较小，但在计算中无法忽略。通过下图 2-12 的电场分析中可以看出对角方向线匝对电场有影响，具体对绕组影响的分析验证将在第 4 章中说明。

在计算匝间电容之前，要解决一个问题，即包封间的耦合关系是否足够小足以在计算匝间电容时忽略其影响，这里通过计算第 4、8、12、16 号线匝与第二绕组之间的电容予以说明。通过计算可得边缘线匝与相邻包封之间的电容值在 2~4pF 之间。约为匝间的三十分之一，这是由于包封间距离为 25mm，绕组间距离近似为 0mm，包封之间距离较之线匝之间的距离非常远，导致包封与包封之间电容耦合强度小，可以忽略。

直接按照电抗器实际模型进行剖分计算理论上是可行的，但是在实际操作中由于计算机等硬件设备的限制，对于处理如此大规模的计算量往往难以完成，因此本文对电抗器第 1 个包封的内部电容进行讨论，建模结构如图 2-13 所示，分别计算了 4 匝×3 层结构，即编号为 1~12 线匝的电容，4 匝×4 层结构，即编号为 1~16 线匝的电容和 4 匝×5 层结构，即编号为 1~20 线匝的电容，其余绕组等效为大矩形导体，通过比较三种结构所的电容间的偏差来获得电容计算的简化方法。

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第 3 章 基于波形松弛法的过电压时域快速计算 .............................22 

3.1 波形松弛法 .....................................................22 

3.2 重叠分区波形松弛法...............................................23 

3.2.1 重叠分区基本理论思想 ...........................................23 

第 4 章 .干式空心电抗器电压分布及试验分析 ...........................33 

4.1 电磁参数及模型验证...............................................33 

4.1.1 电磁参数及模型频域阻抗特性的验证 ..............................33 

第 5 章 结论与展望 .................................................48 
 

第 4 章 .干式空心电抗器电压分布及试验分析
 

4.1 电磁参数及模型验证

4.1.1 电磁参数及模型频域阻抗特性的验证

为了验证第二章所利用参数提取方法的正确性，以及模型的正确性，本文在实验室条件下根据空心电抗器结构及材质，利用现有材料模拟一台简易线圈，如图 4-1（a）所示。所选用的材料为纱包铝线，绝缘相对介电常数为 3.2，铝导体截面为 3mm，导线总截面为 3.2mm，共绕 100 匝绕组，绕组直径为 1m。利用 Agilent4395A 网络分析仪对所绕线圈进行测量，提取其绕组阻抗特性，试验接线如图 4-1（b）所示。

通过计算与两次测量的结果比较可以得知，在该频率段内绕组发生谐振的频率基本吻合，在发生第一次谐振时，测量值有较大的振荡，随后趋于稳定，出现这样的问题主要是试验仪器及测量环境造成的，对试验结果及所证明的问题的影响不是很重要。因此，可以得知本文所用电磁参数提取方法以及基于PEEC 思想所建立模型的方法是可靠性。

4.1.2 时域电位分布验证

上文利用 Agilent4395A 网络分析仪对试验绕组进行了测量，得到其绕组的阻抗特性并与计算所得进行了比较，为了进一步验证参数及模型的正确性，利用时域测量绕组不同匝的电位分布，并与计算值进行比较。试验接线如图 4-4 所示，图中①为实验绕组，②③为高速采样示波器，④为浪涌发生器。

4.1.3 电容矩阵稀疏的验证

在第二章提取绕组电容参数时讲到一个问题，即相邻导体间的的电容与非相邻导体间电容大小的比较，为了进一步说明电容矩阵忽略非相邻导体间小数值电容的有效性和可靠性，这里对简单的绕组模型进行了外特性计算分析比较，通过计算全电容矩阵与电容矩阵稀疏后的绕组阻抗特性，比较分析稀疏电容矩阵对绕组阻抗特性的影响。通过比较考虑八个方向上导体如图 4-4（a）和只考虑四个方向上导体如图4-4（b）的绕组阻抗特性，得出只考虑四个方向上导体的不完善性。

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第 5 章 结论与展望

本文基于 PEEC 模型建立了 35kV 干式空心电抗器模型，针对电抗器内部线匝数量庞大，一般计算机难以支持其计算的特点，提出了利用重叠分区波形松弛法在时域进行快速求解的方法，并分析了雷电波激励下电抗器电压分布。主要工作内容及研究结论如下：

1、利用诺依曼公式计算电抗器电感参数并验证其正确性；在电磁场有限元软件中分析干式空心电抗器绕组电容的分布，得出电容分布规律并提取了电容参数；针对电容分布的特殊规律进行了稀疏化处理，通过比较存在四方向和八方向匝间电容时的绕组外特性，得出考虑八方向电容的必要性，为稀疏电容矩阵提供了可靠依据。

2、以匝为单位建立了基于 PEEC 模型的干式空心电抗器模型；测量实际绕组端口阻抗特性及雷电波下电压的分布，两次试验结果与仿真结果波形基本吻合，验证了所建立模型的正确性及参数提取的可靠性。

3、提出了将波形松弛法应用在干式空心电抗器绕组过电压计算中，并引入了重叠分区理念，提高了迭代的收敛速度。通过理论和仿真对重叠分区波形松弛法的收敛性进行了分析，得出了不同的重叠部分及不同的分裂子系统数对计算效率的影响规律。利用 Lanczos 三对角化技术对系数矩阵进行预处理，可进一步提高计算效率。

4、利用以上方法对雷电波激励下 35kV 干式空心电抗器绕组电压分布进行了分析，通过分析匝间电压、分支间电压和包封间电压得出该电抗器内部电压分布规律，此结论对电抗器机理性分析及绕组绝缘设计有很大的理论意义。
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参考文献（略）