有限差分法探讨二维网格自动剖分策略
导读：基于一些常见的网格生成技术的优劣，利用中心差分格式对转换方程进行了离散处理，该方法生成的网格稳定，适用十任意形状的二维截面。由本站硕士论文中心整理。
第1章绪论
1.1课题背景及研究的目的和意义
铸造行业是制造业的重要组成部分[l]，在传统铸造业中，只能对铸件的形成过程进行粗糙的基十经验和一般理论基础的控制，形成的控制系统只能进行定性分析和经验性计算，要反复试制才能确定工艺[2]。铸件充型凝固过程计算机模拟仿真(简称CAE)是改造传统铸造产业的必由之路，它可以帮助工作人员在实际浇注前对铸件可能出现的缺陷及其大小、部位和发生的时间予以有效的预测，从缩短试制周期，降低生产成本[3]，还可以使一直建立在生产经验基础上的铸造工艺设计从经验走向科学。据报道，采用计算机模拟技术可以缩短产品试制周期40%，降低生产成本30%及提高材料利用率25%}5} .
目前，国外铸件充型及凝固过程模拟软件主要有:美国American Foundry S o ciety公司开发的AFS SOLIDIFICATION SYSTEM(3-D)软件、芬兰CAST公司开发的CASTCAE软件、美国Flow Science公司开发的FLOW-3D软件、法国ESI集团开发的PROCAST软件等[6]。上述软件在欧美发达国家的铸造企业中获得了较广泛的应用，取得了很好的经济效益，部分软件已进入中国大型企业和科研院所，如MagmaSoft和PROCAST等，但由十国外的数值模拟软件和相应的图形处理支撑软件的价格很高，对硬件的要求也较高，因此目前国内有兴趣和能力使用上述软件的铸造厂家还不是很多。
相比之下，国内在CAE技术领域起步较晚，已开发的商品化软件主要有华中科技大学的华铸CAE，清华的FT-star，沈阳铸造研究所的StrifCAS T。虽然国内的铸造数值模拟技术在数学模型的选择、数值计算方法的改进及实际生产应用等方面都取得了较多研究成果，但是在软件开发和实际应用方面与发达国家相比还有一些差距。国内软件大多以有限差分为基础，因此在针对复杂铸件进行数值模拟时，边界处的计算存在很大的误差，为此也开发了一些弥补的方法，要想从根本上解决有限差分的不足，开发适用十大型复杂薄壁件的计算模拟及其软件成为目前研究的课题之一。
铸造过程数值模拟软件的开发包括前处理、中间计算和后处理二个部分。其中前处理模块中的网格剖分部分是实现是铸造过程数值模拟的前提，很大程度上决定着数值模拟的精度。目前国内开发的模拟软件所采用的算法主要是有限差分法(Finite Difference Method)，其缺点是铸件的网格剖分必须是正交的，在模拟任意复
杂形状(特别是薄壁)铸件时，铸件边界处网格为锯齿形，会不可避免地引进有效数字误差，会对流体计算中解的稳定性及收敛性产生较严重的影响，使流体流动的计算失真，甚至发散。有限兀法(Finite Element Method)算法复杂，剖分困难，手工干预较多。适体坐标网格法(TTM法)的提出为解决有限差分法对不规则边界的适应性差的问题提供了很好的解决方法，该方法通过变换把物理平面上的不规则区域变换到计算平面上的规则区域，在计算平面上完成计算，再将结果传递到物理平面上，从提高了流场计算的精度。
基十以上原因，本课题应用有限差分法，以适体坐标系为基础，探讨铸件二维网格的自动剖分策略，为下一步开发基十适体坐标系下充型凝固过程的数值模拟软件奠定基础。
1.2数值模拟技术发展概况
铸件充型凝固过程数值模拟技术首先从凝固过程数值模拟开始发展，其发展经历了二个阶段。
20世纪40年代，哥伦比亚大学的Pashckis教授在美国铸造学会的资助下，利用大型模拟计算机对凝固过程进行了研究。1962年，丹麦的Fcrsund}8}第一个使用电子计算机及有限差分法进行了铸件凝固过程的传热计算，温度场计算结果与实测结果相当接近。此后，许多国家相继开展了铸件凝固过程数值模拟及相关的理论与实验研究。
随着计算流体力学及数值传热学的发展，80年代初期，台湾学者黄文星在美国匹兹堡大学与R. A.. Stoehr}}}教授一起首先将流体力学计算的研究成果用十解决铸造充型问题，开辟了充型过程研究的新领域。随后，各国纷纷开展这方面的研究，如麻省理工学院(MIT)的J. Szekely、阿贡(Argonne)国家实验室的W T. Sha、台湾成功大学的W S.Hwang、丹麦技术大学的S.F.Hansen, P.N.Hansen、德国Aachen研究所的P.R. Sahm、口本东北大学的新山英辅、大阪大学的大中逸雄等[yob
20世纪80中期，随着计算机软硬件技术的发展，世界各国铸件开始了充型过程数值模拟和铸件应力应变数值模拟，并开发出了一系列铸造用模拟软件，它们在分析铸造缺陷、预测铸件质量和优化铸造工艺等方面发挥着重要作用。1989年，世界上第一个铸造CAE商品化软件在德国第7届国际铸造博览会上展出，它以温度场分析为核心内容，在计算机工作站上运行，由德国Aachen大学Sahm教授主持开发，被称之为MAGMA软件。同时展出的还有英国FOSECO公司开发的Solsta:软件，它可在微机上运行，但对有限兀分析作了极大的简化[mo随后出现的有美国的ProCAST，法国的SIMULOR，瑞典的Novasolid，芬兰的CastCAE，西班牙的ForCast}口本的CASTTEM等，这些发达工业国家的商品化模拟软件在其铸造企业中获得了广泛的应用，并取得了很好的经济效益，不过这些软件的价格较高，进入国内市场相对较困难，只有其中一部分软件进入中国大型企业和科研院所，如美国UESSoftware公司开发的PROCAST软件。表1-1是目前世界上主要商品软件的名称、开发商、所采用的算法和主要功能模块。
20世纪90年代，铸造过程数值模拟的研究重点由宏观模拟走向微观模拟，涉及结晶形核长大、树枝晶与等轴晶转变到金属基体控制等方面，铸造CAE商品化软件的功能也逐渐强大起来。其中德国的MAGMA，法国的S imulo:及口本的Soldia等软件都增加了二维流场分析功能，大大提高了模拟分析的精度。这些商业化软件的功能一方面正向低压铸造、压力铸造及熔模铸造等特种铸造方面发展，另一方面为了适应铸件微观组织的研究，又正从宏观模拟向微观模拟发展，其中美国的ProCast及德国的MAGMA软件已增加了球墨铸铁组织中石墨球数及珠光体含量的预测功能。
我国在该领域的研究起步相对较晚，从1980年开始，大连理工大学、沈阳铸造研究所、哈尔滨工业大学、西安交通大学、西北工业大学、哈尔滨科技大学、华中理工大学、清华大学等先后开展了这方面的研究工作，并取得了较大进展。经过30多年的基础研究和发展，目前国内已开发的商品化软件主要有华中科技大学的华铸CAE，清华的FT-star，沈阳铸造研究所的StrifCAST，中国科学院金属研究所的工MR-3D等，这些软件可以进行铸钢、铸铁件砂型铸造时的二维温度场模拟及收缩缺陷的预测，以及对铸钢、铝合金件的热应力场进行模拟，可以满足铸造工厂的一般需要。
如今数值模拟技术已渗入到铸件形成过程的各个方面:CAD/CAE/CAM/CIMS技术、并行技术(Current Technology)不I I快速原型制造技术(Rapid Prototype Manufacturing)等高新技术不断被采用和集成，使铸件从设计到完成制作的周期越来越短。铸件充型凝固过程计算机数值模拟技术已进入工程实用化阶段，铸造生产正在由凭经验走向科学理论指导[15]
1.3网格生成技术的研究现状
1.3.1网格生成技术概述
铸造过程数值模拟的本质就是对充型过程中液态金属的流动以及铸件凝固过程中的传热、传质及相变问题进行数值计算。数值计算的第一步就是生成计算网格，即网格生成(grids-generation)，就是对空间上连续的计算区域进行剖分，把它划成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，随后的数值计算将根据这些节点进行.
计算网格按照网格节点之间的邻接关系可分为结构网格、非结构网格和混合网格二类，下面对这二类网格作简要介绍:
(1)结构化网格
网格节点是按照一定的顺序分布的，除了边界节点以外，区域内部的各网格节点之间都有相同的节点相连接(一维的有2个相邻节点，二维的有4个相邻节点，二维的有6个相邻节点)，图1-1 a)是一个二维结构化网格示意图。
在一般直角坐标系、正交曲线坐标系以及适体坐标系中生成的网格都是结构化网格，此类网格的特点是每一个网格点与其周围的网格点的联结关系是固定不变的，可以根据数组的下标(i, j, k)方便地遍历每一个节点上的数据，因}fn这种网格对十编写计算程序相对简单，网格信息的存储量小，能够节省计算机内存。
当模拟的问题比较简单时，采用单连域网格就能够满足计算要求。但是，随着研究问题复杂程度的加深，单连域网格有时很难满足要求，尤其是在流场区域边界极端不规则、流场变化剧烈的情况下会遇到较大的困难。这时可通过采用分区网格、重叠网格等块网格技术来获得所需要的网格。图1-1 b)为对二维弯道网格划分的示意图，该二维弯道可以分解为由两个直角坐标区域与一个极坐标区域组成。
(2)非结构化网格
非结构化网格由十对不规则区域的特别适应性自20世纪80年代以来得到迅速的发展，这种网格的单兀及节点编好无固定规则可遵循，其定义基十如下假设:对十平面言，二角形是最简单的形状，对十二维空间来说，四面体是最简单的形状，任何的空间区域都可以由四面体来填充[mo。因此，任何空间区域也都可以由四面体来近似其边界。这种网格去掉了结构化网格节点之间的结构性限制，网格节点之间的连接关系是无序的、不规则的，一个网格节点的邻节点数目是非恒定的，包围网格节点的单兀体数目也是不等的。
非结构化网格在数值模拟中有着独特的优势[19,20]，能够非常方便地在复杂区域中生成网格，能够通过流场中大梯度区域自适应来建立自适应网格，IfIJ目_它随机的数据结构使得基十非结构网格的分区以及并行计算可以更加直接的进行，更容易实现网格的划分，提高自动化程度，因此，相对十结构性网格来说，非结构性网格具有很大的灵活性。但是正是由十这种非结构性、随机性，使得空间网格的划分数量增加，需要更多的计算机内存，时间开销比较大，并目_给流场模拟程序在控制体和节点之间的遍历增加了困难。生成非结构化网格的方法可参看文献[16] o图1-2为复杂区域非结构化网格生成示意图。
(3)混合网格
混合网格将结构化网格和非结构化网格结合在一起使用，如图1-3所示混合网格能够更好的发挥结构化网格和非结构化网格各自的优势，一方面适应流场不规则的形状，另一方面有利十节省网格生成的时间，获得更加优质的网格。
1.3.2网格生成技术的发展
早期的网格生成方法大多基十对边界的逼近或者是由特殊的边界函数对流场区域进行处理，要么生成的网格质量不高，要么方法的适应性不强。1967年Winslow}21]最早提出了由求解椭圆型偏微分方程生成坐标系的方法，从此，由求解偏微分方程生成网格的方法便得到了人们的重视。Thompson, Thames及Martin在1974年的论文[[22]中将这一方法系统地提出来，在网格生成技术的发展中起到了开创性作用。由椭圆型方程生成的网格通常质量较高，但其主要适用十物理域边界的形状是完全封闭的情况，目_计算工作量相对较大。
以椭圆型网格生成法为基础，J. L. Steger和D. S. Chaussee在1980年提出了用双曲型偏微分方程法来生成二维网格[[23]。该方法的一大优点是其生成网格的速度比较快，并目_在一定程度上能够保证网格的质量。双曲型偏微分法采用步进的方法从一条边界开始逐渐向前推进，数据的不连续性会随着计算的推进} fi1传播到网格中间，因此很容易引起网格的震荡。结合椭圆型方程生成法的优点对双曲型网格生成法进行改进，可使生成的网格质量有很大地提高。抛物型偏微分网格生成法[}2a]是由Nakamura S. Marching.在1982年提出来的，这种方法是在椭圆型偏微分方程法的基础上对决定其椭圆特性的项作了处理，并目_结合了抛物型偏微分方程法中步进法的优点，一方面保证了网格的生成速度，另一方面又避免了出现震荡解的问题，但是该方法也存在一个显著的缺点，其步进方向上点值的确定和步进长度的选取较为复杂。
至二十世纪八十年代中期，网格生成技术的发展仍然落后十计算格式和计算方法的发展，己经阻碍了流场数值模拟技术的进步。因此，从这时候开始各国计算流体界和工业界都非常重视网格技术的研究，著名的网格生成专家Steger曾在1991年指出需要有专业的网格生成队伍来解决网格生成问题。在1986年、1988年、1991年、1994年、1996年、和1998年相继召开了六届网格生成技术国际会议，}fi1 }_该会议自1986年以来，每隔2-3年就会召开一次，一直延续至今，体现了网格生成技术在数值模拟中的地位[[25,26]。我国也在1997年召开了第一届计算网格生成方法研讨会[27]
网格生成技术飞速发展，当前，国外的软件公司已经开发出了很多非常优秀的网格生成软件，其中非常著名的是美国的EAGLE和GRIDGEN}28}。早期的EAGLE强调完备的技术，以椭圆型方程的数值网格生成技术为主，兼有无限插值等代数方法和表面网格生成技术，具有很强的技术处理能力，理论性和专业性都很强。但是它采用批处理的方式获得指令，对十非专业人士，短期内很难熟悉、掌握和使用其软件。而GRIDGEN则是以代数方法作为网格生成的主要方法，比较注重软件的接口功能，能够方便的与图形对接，具有交互式的特点，用户比较容易接受和掌握这种软件，但是它最大的缺点是技术储备和处理问题的能力都不是很足[f2}1。到了20世纪90年代以后，这些软件都互相吸收了对方的优点，作了很大的维护和改进，一方面，在技术上将更多的网格生成技术融合到软件当中去，使其能够处理较复杂的域，满足不同的技术要求;另一方面，普遍地采用了图形交互技术，便于用户与计算机之间沟通，使网格生成软件便于用户掌握和熟练使用。与国外相比，国内非常成熟的网格生成软件尚不多见。
1.4适体坐标网格技术的发展概况
1.4.1适体坐标网格生成技术
适体坐标系[i6>is>aa>a3>3o-3a}}Body- Fitted coordinates，简称BFC)，也被称为贴体坐标系，是一种被广泛采用的曲线坐标系。这种坐标系是由流场区域的边界点坐标通过计算的方法生成的一种坐标系，它能够很好地与边界形状相适应。
适体坐标网格法，可以被看做是一种坐标变换，它把物理平面上的不规则区域变换为计算平面上的规则区域，在计算平面上的网格点与物理平面的网格点之间建
立一种一一对应关系，从而满足数值求解的需要。图1-5为二维情况下物理平面与计算平面的转换示意图。
理想的适体坐标网格应满足下列以下几种特性:网格线与边界的正交性、网格的光滑性和连续性、网格疏密程度的可控性，并目_网格生成程序应具有广泛的通用
性及网格生成的高效性「33]。
目前，适体坐标网格生成的方法大致可分为二类:保角变换法、代数生成法及微分方程法。
(1>保角变换法
保角变换法也叫复变函数法，以复变函数中的解析变换为数学基础，因此它得到的坐标线是正交的。但是该方法也存在着很大的局限性:一方面，它仅适用十求解二维的问题;另一方面，虽然通过黎曼定理可知，对十任何一个单连通区域必可通过某个保角变换变为另一个任意给定的单连通区域，但是常用的保角变换方式数目有限，在求解具体问题时，如何找到适当的保角变换方式非常困难.
(2)代数生成法
代数生成法[[16,32,33]实际上是一种插值方法，生成的网格由物理边界上的值经过插值获得，它通过一些代数关系将物理域上的不规则区域转换成计算空间上的规则区域。代数方法生成网格在生成速度上有相当的优势，计算量较小、耗时少，但是代数法的通用性不好，对十不同的区域需要构造不同的代数关系式来实现坐标的转换，所生成的网格一般不正交，特别是对形状复杂的区域计算精度更难以保证。
(3)微分方程法
适体网格的生成问题可以看成是一个关十坐标变换的边值问题，所以很自然地将求解偏微分方程的方法作为获取坐标值的方法。偏微分方程法生成网格的质量较高，得到了广泛的应用，先后发展了二种方法:椭圆型偏微分方程法、双曲型偏微分方程法、抛物型偏微分方程法。
椭圆型偏微分方程法能够方便地控制网格点的疏密度，并目_所生成的网格在边界处具有良好的正交性，因此这种方法一经提出来就引起了广泛的关注。
对十某些边界不是封闭的图形，双曲型方程网格生成法和抛物型方程网格生成法表现出了很强的适应性。在二维情况下，双曲型方程网格生成法是通过求解双曲型偏微分方程来生成网格的方法，这两个方程一大优点是其生成网格的速度比较快，据统计其生成网格所花费的时间要比椭圆型方程网格生成法少1-2个数量级，并目_也易十控制网格线的正交性，在一定程度上能够保证网格的质量。
抛物型偏微分方程网格生成法是在椭圆型微分方程法的基础上对决定其椭圆特性的项作了处理，并目_结合了双曲型微分方程网格生成法中步进法的优点，建立了网格生成的抛物型方程。由抛物型方程生成网格，一方面可以保证网格有较快地生成速度，可以达到与双曲型网格生成法相当的网格生成速度;另一方面，边界条件的奇异性被光滑掉，也避免了出现震荡解的问题，同时生成网格的正交性也基本能够满足要求。但是，该方法与双曲型方程网格生成法一样都有一个明显的缺点，即步进方向点值的确定和步进长度的选取都是相当复杂的，不容易确定。
1.4.2适体坐标网格的发展及应用
在铸造过程数值模拟研究的初期，大多数研究者所使用的网格都是简单的直角坐标网格，其特点是网格容易生成，正交性好，但其最严重的缺点是对不规则区域边界的适应性差。对任意形状的薄壁曲面形状的铸件处理时，为了保证计算精度，必须将计算区域划分成非常细小的矩形网格，这就会占用大量的计算机内存，耗费过多的计算时间。针对这一难题，国内外学者提出了两种解决方案，即采用非均匀网格技术和适体坐标(Body-fitted coordinate，简称BFC)方法。虽然非均匀网格能较好的解决精度问题，但是在边界处的阶梯化划分网格使得模拟结果的连续性仍不够理想[36]。
1974年，美国学者Thompson, Thames不II Mastin提出采用微分方程生成BFC网格的方法。BFC技术的提出为有限差分法处理不规则边界问题开辟了新的道路，90年代初，适体坐标网格生成技术开始应用十空气动力学、水动力学、燃烧科学、大气预测、弹道技术等方面，得到了较好的模拟结果。
1998年，韩国国立大学的MIN-HO KOO和普度大学的Darrell LLeap应用适体坐标网格生成技术分析模拟了地下水流动，先后分析了稳态表面[f3}1 }I!自由表面「}s}两种情况，并将模拟结果与实验结果相比较，效果良好。
在铸造研究领域，1998年口本的L . Ohnaka课题组首次把适体坐标网格生成技术用十铸造过程的数值模拟中，并对薄壁曲面形状铸件进行了模拟「39]。
1999年韩国的C. P. Hong}ao]教授课题组发展了基十适体坐标网格的SIMPLE-BFC-VOF法，该方法的模拟结果在曲面处具有很好的平滑性、连续性，目_精度较高。
国内，适体坐标网格生成技术在各领域的应用主要表现在以下各个方面:
(1)水动力学
2003年，茅泽育[}a i]等人针对天然河道边界弯曲复杂的特点，建立了适体坐标系下的二维河冰数值模型，并应用黄河河曲段实测资料对数值模拟结果进行了验证，效果较好。
2005年，汕头大学的秦文汉[}aa]在他的硕士学位论文中选用河流二维水质模型，采用有限差分法，采用贴体坐标网格对河道进行剖分，克服了由十复杂边界} fi1引起的计算困难，同时对边界点动态滑移，生成边界处正交性良好的曲线网格;利用VB编程语言，实现了复杂边界二维河道正交网格剖分算法。
2007年，刘万利、李一兵[[43]等人采用平面二维水流数学模型的技术手段，研究回水变动区河段滩险整治工程方案。研究中采用正交贴体网格来逼近天然河道的边界，并此基础上建立了平面二维水流数学模型。
2009年，土军[[44]等人基于贴体坐标转换和有限体积法，用k-。两方程模型模拟水体的运动，在同位网格上使用动量插值法避免了压力的波动。建立了冰塞面的变形方程，并用C语言编写的程序对冰塞堆积进行了数值模拟计算，对比实验室中冰塞堆积试验的结果，两者的吻合较好。
(2)燃烧科学
2007年，张海涛，赵坚行[[45]在任意曲线坐标系下，利用椭圆型微分方程和区域法生成二维贴体网格，对带有横向波纹隔热屏、外冷却通道和尾喷口的涡喷加燃烧室的二维热态流场进行数值模拟，所得计算值与试验数据基本相符。
(3)弹道技术
2004年，哈尔滨工程大学的朱卫兵[[4G]等人与航天科工集团公司31所合作，针对XX-XX联合动力装置，采用代数方法生成喷管外流场二维贴体网格，对尾喷管射流在超音速、欠膨胀状态下进行了二维流场数值模拟，其模拟结果可用于火箭武器系统工程技术问题的研究。
在铸造过程数值模拟适体坐标网格生成技术研究方面，较具有影响力的是东南大学的朱鸣芳教授。200年，他的学生赵建新[[47均守适体坐标技术应用于铸件充型流动过程数值模拟，并基于BFC系统的二维SIMPLE算法开发编制了二维BFC-SIMPLE-VOF法，结果表明在保证计算精度相当时，采用BFC技术可节省大的计算机内存和计算时间。
2006年朱鸣芳教授指导研究生梁英业[has]在直角坐标网格生成技术的基础上，采用椭圆型微分方程法对二维和二维区域进行了BFC网格生成，并开发了直角坐标网格生成程序和适体坐标网格生成程序。图1-6为U型管以及多级弯管的适体坐标网格生成结果，可以看出在U形管以及多级弯管的直管部分，网格非常接近于直角网格，正交性非常好，而在弯管部分的网格则很好地适应了弯管的曲线变化，同时保持了较好的正交性。但是在该研究中，未涉及二维双连域图形的网格剖分。
1.5本文主要研究内容
综上所述，适体坐标网格可以弥补有限差分网格在笛片尔直角坐标系下模拟结果连续性差、误差较大的不足。虽然该方法自1974年被提出以来，被广泛应用于各种领域，均取得了较好的效果。但是在铸造领域，尤其是国内的铸造领域中应用还不是很多，同时，涉及二维双连域图形网格剖分的研究尚未开展。故本论文将分别针对二维单、双连域图形开展适体网格生成技术的研究，主要研究内容包括以下几个方面:
(1)针对单连域及双连域的图形特点，建立适应图形的适体坐标系;
(2)采用椭圆形偏微分方程法建立物理平面与计算平面之间的坐标转换方程，建立适体坐标系下的网格自动剖分模型;
(3)采用DXF文件作为图形接口文件，研发二维图形单连域及双连域适体网格自动剖分程序;
(4)采用上述研发的自动剖分程序，针对二维复杂图形实施剖分，验证模型及程序的准确性。
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摘要 4-5
Abstract 5
第1章 绪论 8-20
1.1 课题背景及研究的目的和意义 8-9
1.2 数值模拟技术发展概况 9-11
1.3 网格生成技术的研究现状 11-15
1.3.1 网格生成技术概述 11-14
1.3.2 网格生成技术的发展 14-15
1.4 适体坐标网格技术的发展概况 15-19
1.4.1 适体坐标网格生成技术 15-17
1.4.2 适体坐标网格的发展及应用 17-19
1.5 本文主要研究内容 19-20
第2章 适体坐标系下的网格剖分数学模型 20-42
2.1 引言 20
2.2 椭圆型偏微分方程网格生成法 20-28
2.2.1 椭圆型网格生成法原理 20-22
...............................................................................
2.4.1 适体坐标系的建立 30-31
2.4.2 边界条件的初始化 31
2.4.3 物理区域内部网格点的初始化 31
2.4.4 适体坐标网格生成流程 31-32
2.5 二维单连域适体坐标网格的生成 32-34
2.5.1 适体坐标系的建立 32-33
2.5.2 边界条件的初始化 33
2.5.3 物理区域内部网格点的初始化 33
.......................................................................
第3章 二维区域适体坐标网格生成结果与分析 42-52
3.1 引言 42
3.2 二维双连域适体网格生成 42-45
3.2.1 O-型网格生成 42-43
3.2.2 C-型网格生成 43-44
3.2.3 H-型网格生成 44-45
3.2.4 结果分析 45
..............................................................................................
参考文献 61-66
致谢 66
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