关于有限元网格优化分析各种不同算法
导读：有限元软件可以提供非常多的仿真选项来打;制系统建模和分析的复杂度，例如计算精度和计算时间，以此来满足大多数土程应用的不同需求，通过有限元方法和计算机辅助设计( Computer-Aided-Design，简称CAD)的结合，能够使设计在投入实际生产前，进行设计、模拟、改进、再分析，从而使得设计更为合理。由本站硕士论文中心整理。
第1章绪论
11引言
有限元方法(( Finite Element Method，简称FEM ) [' ]，它的一种特殊应用也常常. ,;r}..扮:;产厂.一沂( Finite Element Analysis，简称FEA )，是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术。有限元方法基于完全消除微分方程，即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形)，或将偏微分方程(组)转换为常微分方程(组)的逼近，这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法[f2]，龙格一库塔方法[[3]等)求解。
有限元方法最早应用于土木工程和航空工程中求解复杂的弹性和结构分析问题。许多机械工程领域的企业在设计和开发产品时会使用有限元技术，诸如机械制造、材料加工、航空航天、生物力学、汽车工业等等。有限元软件可以针对许多特定领域进行应用，诸如热学、电磁学、流体学以及结构学等方向，在结构化仿真的过程中，有限元方法提供了对产品刚度和强度的可视化分析，并通过分析帮助设计师改进设计。
通过有限元分析技术，可以凭借可视化的方式，观察结构的弯曲与变形部分，并且显示出压力和位移的分布。有限元软件可以提供非常多的仿真选项来打;制系统建模和分析的复杂度，例如计算精度和计算时间，以此来满足大多数土程应用的不同需求，通过有限元方法和计算机辅助设计( Computer-Aided-Design，简称CAD)的结合，能够使设计在投入实际生产前，进行设计、模拟、改进、再分析，从而使得设计更为合理。
有限元方法是一个强大的工具，极大地提高和改进了许多工业应用的工程设计标准和设计方法。有限元方法减少了产品从概念设计到投入生产线的时间，这主要就是通过不断改进原型设计、测试、改进、重新设计这样迭代的过程来实现的。总体而言，有限元方法能够增加计算精度、改进产品设计、更好的凸显了关键设计参数的作用、虚拟化原型(减少了硬件原型的数量)、更快和更经济的设计周期、提高产能与效率以及增加企业的收入。
1. 2有限元网格优化算法
在科学研究和工程设计中，使用非结构化的有限元己经非常普遍。不管采用什么有限元方法，模型的计算域必须先被分解为简单的几何单元。这种分解可以通过自动化的有限元网格生成工具来产生，不过所生成的网格难免会产生非常不理想或者扭曲的网格单元，并在求解过程中引起数值求解的困难，例如，当有限元网格中二面角过大的时候，有限元求解的离散误差会增加[[4]，当二面角过小的时候，元素矩阵的条件值会增加[[5]，导致求得的解在计算精度和计算复杂度上都不能达到要求。这个问题在三维模型上比二维模型更加明显，因为相比于三角形网格，四面体网格中网格质量较差或是扭曲的比例更高，于是，为了提高非结构化体网格的网格质量，人们提出了一系列的网格优化算法[[6]，总体上可以将它们分为基于几何的网格优化算法和基于拓扑的网格优化算法两大类。
1. 2. 1基于几何的有限元网格优化算法
基于几何的网格优化算法，主要是指网格平滑算法及其推广算法(meshsmoothing，它主要通过重新调整网格点的坐标位置提高网格的质量，同时又不改变网格模型的拓扑关系。
最为常见的平滑算法是拉普拉斯平滑[f}l，它将平滑点移动到周围邻居顶点的重心，以此达到平滑顶点的效果。图1.1显示了在二维坐标系上进行拉普拉斯平滑。拉普拉斯平滑对于二维三角形网格的优化效果较好，但是对于三维四面体网格却不是很可靠。在三维空间中，四面体网格有时候在经过拉普拉斯平滑后会发生反转的情况，被平滑过的点可能会移出四面体。
在拉普拉斯平滑的基础上，人们提出了更好的基于数值优化的平滑方法fs_}ol0这些算法会定义一个平滑的目标方程，这个目标方程体现了一组网格的质量随着网格上节点移动时，网格质量的变化趋势。例如，目标方程定义为邻接于一个顶点的所有四面体网格的质量平方和，然后使用数值优化的算法来把顶点移动到最佳位置。一般数值优化算法包括最速下降法「”〕和牛顿迭代方法['2l o Freitag, Jones和Plassman}' 3]提出了一个更加复杂的非平滑优化方法，这使得优化一组网格中最差的四面体网格成为可能。例如最大化邻接于一个顶点的所有四面体中的最小二面角，之所以需要这样一个非平滑算法是因为质量函数的目标方程，并不一定是相对于顶点坐的平滑函数，这个目标方程的导数是不连续的，主要因为这个质量函数里的最差网格会根据网格被平滑的点的移动发生改变，Freitag和Ollivier-Gooch}'4]使用该算法和拓扑优化结合，更进一步提升了优化的效果。
1.2.2基于拓扑的有限元网格优化算法
基于拓扑的有限元网格优化算法通过改变、修改有限元网格的拓扑关系，来进行有限元网格优化。它常常会移除一些网格元素，并且使用新的网格代替，由于每个有限元网格独立的看是离散的，拓扑操作往往依赖于一些操作的组合，来寻找最佳的网格形态。拓扑变换通常是局部的(local )，只有几个或者几十个有限元网格会参与到单个拓扑操作中。
最简单和常见的拓扑操作是2-2边翻转、2-3边翻转和3-2边翻转(2-2 fl币、2-3 flip, 3-2 flip) ['s}。这是从二维三角形网格中自然过渡过来的三维拓扑网格优化操作，其中的数字指明了被移除的网格数量以及创建的网格数量。2-3边翻转将2个有共享面的四面体用共享一条边的3个四面体来代替。3-2边翻转则正好相反，把共享一条边的3个四面体用2个有共享面的四面体来代替。更为一般化的情况，是边移除(Edge Removal) [' 6}和面移除(Multi-face Removal) [' }} o
由Rri'ere de 1'Isle和George提出的边移除[ 16]，其中最简单的情况就是3-2边翻转，不过边移除可以移除被任何数量网格的共享的边，而不仅限于3个四面体共享的边。一般来说，边移除移除m个四面体，并创建2m-4个新四面体，从图L.2可以看到，进行边移除的一组四面体，把他们共享的那条边删除(两端点的连线，图中第f步)，然后找到中间一圈顶点(图中第R步)，选择中间那一圈顶点中的一个，作为种子顶点，并且向中间的其他几个顶点做连线(图中第T步)，最后将每对相邻连线和2个端点分别生成2个四面体，就完成了边移除的有限元网格优化操作(图中第J步)。
面移除[[17〕是正好与边移除相反的操作。它最简单的情况是2-3边翻转，m个面的面移除，把原本2m个四面体，用m+2个新的四面体代替。从图1.2可以看到，面移除首先找到中间一圈共享面上的种子点(图上第J步)，然后取出这圈面的信息(图上第T步)，删除中间的连接边，并且连接上下两个网格端点(图上第R步)，最后对于中间一圈顶点，每2个相邻点和上下2个端点一起组成一个新的四面体，生成一圈四面体(图上第I步)，这样就完成了面移除的操作。
f直得一提的是，相对于更加一般化的边移除和面移除有限元网格优化操作，2-3边翻转，3-2边翻转，在网格优化的过程中，使用的概率要高的多，特别是面移除。在之前的研究工作中，也并没有相关文献在实际使用中，使用该算法来进行有限元网格优化，主要原因就是，要寻找这样的网格布局并不容易，而且即便找到，提高网格质量的概率也很低，因此这一算法目前的使用意义并不是很大。
参考文献
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[11]张洪梅.三维六面体网格自适应生成算法研究及其应用「D], 2007，山东大学.
摘要 4-5
Abstract 5
第1章 绪论 10-23
1.1 引言 10-11
1.2 有限元网格优化算法 11-15
1.2.1 基于几何的有限元网格优化算法 11-12
1.2.2 基于拓扑的有限元网格优化算法 12-15
1.3 支持向量机简介 15-20
1.3.1 支持向量机的定义 16
1.3.2 线性支持向量机 16-19
1.3.3 非线性支持向量机 19
1.3.4 核函数 19-20
1.4 目前有限元网格优化存在的问题 20-21
1.5 本文的研究目标与主要研究内容 21-22
1.6 本章小结 22-23
第2章 基于SVM的有限元网格优化 23-42
2.1 引言 23
2.2 有限元网格优化算法的选取原则 23-26
2.3 基于SVM的有限元网格优化建模流程 26-33
2.3.1 有限元网格优化算法的特征提取 28-30
2.3.2 有限元网格优化算法的样本提取 30
2.3.3 SVM模型生成 30-33
2.3.4 使用SVM模型进行预测 33
2.4 有限元网格质量评价函数 33-38
2.4.1 最小二面角 35-36
2.4.2 Volume-length 36-37
2.4.3 四面体雅克比矩阵行列式 37-38
2.5 体网格数据结构 38-41
2.6 本章小结 41-42
第3章 基于SVM的边翻转网格优化算法 42-62
3.1 引言 42
3.2 现有边翻转网格优化算法 42-45
3.2.1 2-2 flip有限元网格优化算法 43-44
3.2.2 2-3 flip有限元网格优化算法 44
3.2.3 3-2 flip有限元网格优化算法 44-45
3.3 基于SVM的边翻转网格优化算法流程 45-47
3.4 基于SVM的边翻转网格优化算法实现 47-54
3.4.1 边翻转网格优化算法的特征选取与调整 48-53
3.4.2 边翻转网格优化算法的样本提取 53
3.4.3 SVM核函数选择及SVM参数调整 53-54
3.5 实验结果分析与讨论 54-60
3.6 本章小结 60-62
第4章 基于SVM的边收缩网格优化算法 62-79
4.1 引言 62
4.2 现有边收缩网格优化算法 62-65
4.3 基于SVM的边收缩网格优化算法流程 65-67
4.4 基于SVN的边收缩网格优化算法实现 67-73
4.4.1 边收缩网格优化操作的特征选取 68-70
4.4.2 边收缩网格优化算法的样本提取 70-72
4.4.3 SVM核函数及SVM参数调整 72
4.4.4 引入优化阈值 72-73
4.5 实验结果分析与讨论 73-78
4.6 本章小结 78-79
第5章 总结与展望 79-81
5.1 总结 79-80
5.2 未来工作 80-81
参考文献 81-85
攻读硕士学位期间主要的研究成果 85-86
致谢 86-87