第一章前言
1.1金融数学对当前金融市场的作用
当今社会是信息科学技术快速发展的时代，金融市场也同时进行着快速的发展，发生着一次又一次的变革。金融产品更加规范和严谨，这些严谨的金融产品的发展离不开金融数学的作用。
金融数学的产生和发展是符合时代的需求的，它将金融和数学相结合，使得无序的金融市场更加理性。它主要对金融市场上的风险资产交易的相关问题进行研究，目的是应用数学工具来探讨金融学的发展规律。随着国内市场经济的不断发展和制度的不断完善，金融市场也获得了发展机遇，从而为金融数学提供了很好的机遇，同时金融数学的发展进一步推动了金融市场的发展，从而形成了一个良性循环。因此，我们有必要对金融数学进行深入的研究，在研究的同时也要结合国内经济环境的现状，从而总结出适合国内经济现状的理论。
目前金融数学理论的分析方法主要包括随机最优控制理论的分析、基于鞅理论的分析、基于最优邻里理论的分析以及基于微分对策理论的分析。经过国内学者对这些分析方法不断深入的研究，使得它们有了进一步的发展和突破，在金融市场上也具有了更大的研究价值。
然而，由于金融市场本身具有很大不确定性，要对其随机性进行全面的了解难度将会十分大，所以只能应用概率论的相关知识，应用统计方法来研宄其规律，从而尽可能地确定金融市场经济中的规律。同时也应及时的把金融市场中的数据反馈给研究部门，从而使研究部门能够尽快的分析数据，起到相辅相成的作用。
综上所述，金融数学对金融市场的作用日趋重要，金融数学的诞生会给金融市场带来新的发展变化，所以金融数学这门学科的发展应该得到社会广泛的关注与认可。
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1.2金融市场的现状
随着现代市场经济的飞速发展，金融也进入了快速发展的阶段，成为市场经济的核心。随着全球化趋势逐渐加深，我国的金融市场也在逐步走向国际化，比如国民经济的发展、人民消费需求、城乡居民收入等都进入了一个新的发展水平，但是与国外成熟的金融市场相比，我国的金融市场仍然存在着诸多问题，需要进一步完善。
首先，我国的金融市场还不够成熟：（1）金融主体竞争力较弱。我国的金融系统的主体仍然是四大国有银行，虽然已经进行了一系列的改革，比如进行了股份制改革，但是在风险管理控制方面和整体的运行体制方面仍然和发达国家有不小的差距。（2）金融结构不平衡。金融机构虽然一直在不断地进行优化，但是目前的结构状态无法满足国内市场经济发展和适应经济全球化的需求。（3）缺乏创新性。在金融创新方面，我国与发达国家还有相当大的差距，处于相对落后的局面，并且在相对有限的金融创新中，仍做不到各个领域进展均衡的状况。这些现象都会降低金融资源的使用效率。
当前我国的金融监管协调性差，主要进行的是分业监管体制，这就造成了不同的监管机关之间被分割开，从而造成了监管政策不统一现象。监管体系的主体法律是纲目式的，缺少与主体金融法律相配套的具体的实施条例，从而使得可操作性进一步降低。风险防范机制落后，过分依赖政府，金融机构之间缺乏主动防范风险的意识，使得风险防范工作做的不到位。
本文主要介绍的是场外交易市场的金融衍生品，而场外交易市场的一个显著特点就是高风险性。因为缺乏监管机构的监管，同时加上我国目前金融监管的风险防范工作不到位，这就使得场外交易的风险性进一步上升。所以当前急需解决的问题就是，完善金融监管相关制度，出台与主体金融法律相配套的具体的实施条例，使得各个监管机关相互协调，加强其风险防范工作，努力促进金融市场有条不紊的发展。
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第二章企业负债随机情况时的跳跃－扩散模型下的脆弱期权定价问题
2.1背景介绍
对具有违约风险的期权定价的模型有两种：一种是简化模型；另一种称为结构模型，它是基于公司的资本结构而建立的。当使用简化模型对具有违约风险的标的资产进行定价时，我们不需要考虑公司的经济状况和资本结构，而是直接从市场获取信息；结构模型则认为公司资产的下降导致了违约事件的发生。一旦公司资产的模型被建立，并且资本结构确定，就可以通过期权定价公式来进行定价。对于具有违约风险的期权定价，后一种模型近年来得到更广泛的应用。
然而据我们所知，在带跳模型的脆弱期权定价中，很少有论文考虑到公司负债是随机的。这并不科学，众所周知，现实中，公司负债是处于不断变化之中的，所以为了研究在公司负债是随机时对期权定价的影响，基于上述理论基础，我们通过扩展Tian等人的模型，进一步研究带跳模型下的脆弱期权并且建立模型。
正如Tian等人的模型的假设一样，我们也假设欧式期权不但面临违约风险，还面临着标的资产和公司资产的罕见动荡，即通过跳跃部分表示。跳跃分为每种资产价格的特殊组成部分和影响所有资产价格的系统组成部分。与之前脆弱期权定价不同的是，我们假设企业的负债是随机的，并且满足最基本的随机过程，即几何布朗运动。
本章的其余部分的内容如下。在第2节中，提出了一种具有相关信用风险的跳跃扩散模型。标的资产和交易对手资产的动态由两个相互关联的跳跃扩散过程给出，公司负债的动态由几何布朗运动给出。基于以上假设，我们得出了脆弱欧式期权的显式定价公式。第3节给出了结论。关于本章的详细计算过程在文末附录一给出。
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2.2模型建立
在本节中，我们在几个假设的基础上，建立了我们的模型，从而对脆弱欧式期权进行定价。正如Tian等人的模型，我们也假设股票价格和交易对手资产的随机性满足跳跃扩散过程。同时，假设公司负债的随机性满足几何布朗运动。
在这一部分，我们通过建立新的模型来对脆弱欧式期权进行定价。正如Wang等人的模型，我们得出当波动率是随机情况时的脆弱期权的定价公式。其中随机波动率被分为短期波动率和长期波动率。短期波动率通过均值回复过程来进行描述，长期波动率则被假设为常数。正如标的资产和交易对手资产具有随机性一样，公司负债固定不变的可能性也非常小。
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第三章企业负债随机情况时的随机波动率模型下的脆弱期权定价问题........................28
3.1背景介绍.......................28
3.2模型建立.......................28
3.3脆弱欧式期权的定价.......................28
第三章企业负债随机情况时的随机波动率模型下的脆弱期权定价问题
3.1背景介绍
不断提高的全球自由化程度和频繁波动的金融市场，这些现象使得基础的金融产品价格的不确定性以及风险都在不断的增加。这就使得金融机构和企业需要找到更好的工具来避免风险。在这些风险中，信用违约风险一直在金融界引起人们的广泛关注，尤其2007年发生的次贷危机。金融衍生品的违约对这些危机造成了很大的影响。因此，人们对具有违约风险的金融衍生品的定价的研究产生了很大的兴趣。对期权定价理论的研究可以追溯至1900年。Bachelier第一次通过随机游走来描述股票价格的变化情况。虽然他的模型还不够成熟，但即使是一些假设与实际市场情况相悖，欧式期权定价在波动率不变情况下的解析公式也指出了未来的研究方向。
在随机波动率模型中，Heston的模型被使用的频率最高，最广泛。Wu等人使用他的模型来证明欧式看涨期权的价格与标的资产价格的自由漂移不相关。在利率具有随机性这一假设前提下，他们得到了欧式债券期权以及外汇期权的定价公式。为了解决固定收益养老基金的投资组合管理问题，Xiao等人通过应用最优控制理论以及对数效用函数，从而建立了Heston随机波动率模型，此模型为求解随机最优控制模型组合问题以及随机微分方程提供了新的求解思路和方法。通过使用Heston的模型，Wang等人进一步将随机波动率分解成短期波动率和长期波动率，其中，短期波动率使用了均值回复过程来描述，同时假设长期波动率是常数，在这些假设的基础上研究了波动率是随机情况时的脆弱期权定价问题。
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结论
在本章中，我们进一步探讨了在随机波动率模型下，脆弱欧式看涨期权的定价问题。与现有的随机波动率模型下的脆弱欧式看涨期权定价相比，我们的模型的优势在于我们假设公司负债是随机的，并且将随机波动率模型用于公司负债。随机波动率被分解为长期波动率和短期波动率。其中随机波动率的短期波动率通过应用均值回复过程来进行描述，而长期波动率则被假设为一个常数。在这些假设的基础上，通过求解我们的模型，最终得到了脆弱欧式期权价格的显式公式。关于未来研究方向，想进一步通过数值模拟对该部分得到的模型进行模拟，并将模拟结果与Wang等人的模型结果进行比较，进而探讨它们对期权定价问题的影响。
参考文献（略）