弹塑性结构在可靠度快速算法中计算机应用之一
导读：快速算法计算响应面功能函数的值，以提高计算效率，再结合几何法求可靠指标和验算点，直到满足给定的精度要求。由本站硕士论文中心整理。
第1章绪论
1.1研究意义
随着有限元技术的发展，实际工程和研究对于有限元计算提出了更多更高的要求，不仅要能对某个结构的响应进行计算，而且，还要评估材料、几何形状等各种因素对于结构响应的影响关系，以利于对结构的优化设计、可靠性评定和随机分析等等。一般来讲，除了少数简单模型可以建立理论公式来分析外，更通用更一般的评估响应方法是针对考察的影响参数，生成一批样本算例来进行计算分析研究。这些生成的样本算例是相似的，只是在需要考察的影响因素方面有差异，比如结构的某个或某些材料参数、几何参数差异等。尤其在结构可靠度计算中，其变异系数一般小于0.3[']，而且在进行可靠度分析时一般为某个参数的变化，所以在一定的算例样本的情况下，可以利用样本之间相似这一性质来构建更高效的多样本计算算法。由于同一问题因参数变化而形成的多样本之间是相似的，样本之间的非线性有限元方程有近似性，可以预计样本之间的求解过程和求解结果有一定的相似程度。因此就自然提出这么一个问题:能不能利用已求解的样本的信息来计算待求样本，从而提高待求样本的计算效率?本文以此为思路，在弹塑性有限元的基础上提出了一种新的多样本分析的计算方法并将此方法应用到实际的结构可靠度的计算中，对非线性有限元重分析及弹塑性结构可靠度分析的计算效率的提高有较重要的推动和实用价值。
1.2研究现状
目前利用己求解样本来加速待求解样本计算的研究很少。第一个提出该类方法的是Yamazaki，在研究线弹性问题的Monte Carlo随机有限元方法中，Yamazaki提出了Neum~展式法[2]，其基本思想是在线弹性问题中，首先求解一个样本(这里称之为基木样本)，在求解过程中，可以得到该样本的刚度阵逆阵或刚度阵的三角分解阵;对于待求样本，将待求解样本的刚度阵分解为已求解样本刚度阵与一个矩阵之和，然后按Neum~展式进行的迭代求解。由于计算过程中，待求解样本的刚度阵避免了求逆阵或三角分解，从而节约求解的计算时间。陈塑寰等人在研究弹性问题优化设计中，提出了M-P逆结构变化法[[3]，它基于Moore- Penrose逆定理建立了一套拓扑变化变化公式，对于拓扑修改后的结构只需要经过结构变化来实现，不需要重新求解方程，由此避免了重新求解方程组而带来的巨大计算量，该方法特别适用于弹性结构局部修改后静力快速求解，其特点是能够实现自由度增加和减少后结构快速求解问题。进一步，陈塑寰、黄海等又提出了的摄动一Pade逼近法[[4]该方法将所有新增加的自由度分步、逐次得增加到原结构上，在每一子步中利用过渡矩阵得到摄动基，并对摄动基进行正交化处理来进行Pad‘逼近，得到的近似解作为下一子步的原始解，循环结束时得到修改结构的近似解。该方法结合摄动法和Pade逼近，利用特征样本的信息得到近似解，在结构变化较大的情况下也能得到较好的解。这些研究都在一定程度上节约了计算成本，而且最大的特点是实现了自由度增加或者减少后结构的快速计算问题。Kirsch.U在研究优化问题中，提出了关于求解弹性静力问题快速分析的联合逼近(CA)[5]的近似求解方法，该方法是将缩减基方法和一个级数展开的前几项组合起来，通过选取基向量，使得大规模的方程降阶，每次都只求解一个比有限元控制方程阶数小的方程组。该方法自提出后在非线性问题、波动问题、拓扑问题、动力问题中都有应用。但是，联合逼近法并没有从根本上减少计算量，缩减基的选取本来就有很大的计算量，关于联合逼近法的效率问题在文献[6]中有详细的论述。杨杰在研究随机有限元问题中，对于Yamazaki提出的Neum~展式法进行了较深入研究，证明了该方法在算法上等同于线性方程的等刚度迭代法，其优点是，迭代刚度阵是已处理好的矩阵，不须再做耗时的矩阵分解或求逆。在此基础上，将迭代性能更优越的预处理共扼梯度法和chebyshev加速算法引入到Monte Carlo随机有限元方法研究中，取得了较好的计算效果.
目前多样本的压缩计算研究上存在以下两个较大的不足，一是目前的研究是针对线性系统的，而在实际工程上，耗时计算一般是大规模的非线性问题，压缩算法只有
成功应用于非线性有限元问题中才有真正的价值。另一个薄弱环节是，目前的研究对于压缩算法的理论分析不够，压缩算法在收敛性、误差方面出现了新的情况，这没有得到充分的研究;特别的，压缩算法带来了对于压缩效率评价的问题，如何评价压缩效率，它受哪些因素的影响，影响程度如何等等。
在本文中，针对以上的两点不足，具体研究构建多种材料非线性有限元的快速计算算法;研究压缩算法的收敛性和误差;研究压缩算法的压缩性能分析方法和压缩效率评价;编制压缩算法程序并进行计算检验。
在工程结构设计中，以安全系数为基础的传统设计分析方法逐渐被以可靠指标为基础的结构分析方法所代替，现在更多的设计规范要求按可靠度来设计[[s2]。而可靠度分析理论以较成熟，早在19世纪30年代就开始，当时主要围绕飞机失效就行研究。第二次世界大战中，德国曾用可靠度分析过火箭。美国也对B-29飞机进行过可靠度分析。19世纪50年代开始，美国国防部专门建立了可靠度研究机构(AGREE )，对一系列可靠度问题进行研究，促进了空间研究计划。可靠度在结构设计中的应用大概从19世纪40年代开始。1946年，A.M.Freudenthal发表题为《结构的安全度》的论文，开始集中讨论这个问题。同期，前苏联的尔然尼钦提出了一次二阶矩的基本概念和计算失效概率的方法及对应的可靠指标公式。但那时以及从那以后的研究都还局限于古典可靠度理论，设计中随机变量完全为其均值和标准差所确定。显然，这只有在随机变量都是正态分布条件下才是精确的。美国C.A.Cornell在尔然尼钦工作的基础上，于1969年提出了与结构失效概率相关联的可靠指标p作为衡量结构安全度的一种统一数量指标，并建立了结构安全度的二阶矩模式。1971年加拿大的林德对这种模式采用分离函数方式，将可靠指标p表示成设计人员习惯的分项系数形式。这些加速了结构可靠度方法的实用化。美国A.H.S.Ang对结构不定性作了分析，提出了广义可靠度概率法。他和W.H.Tang合写的《工程规划和设计中的概率概念》在世界上应用较广1976年，国际“结构安全度联合委员会(JCSS)”，采用Rackwitz和Fiessler等人提出的通过“当量正态”的方法以考虑随机变量实际分布的二阶矩模式。在我国，结构可靠度问题研究较晚。19世纪50年代开始采用前苏联提出的极限状态设计法。60年代，土木工程界曾广泛开展结构安全度的研究与讨论。70年代开始把半经验版概率的方法用到有关结构设计规范中去。此后，有关建筑部门开始组织大量科研人员从事可靠度设计方法的研究。
在可靠度的分析方法中Rosenblueth点估计法计算简便，无需迭代计算，但对于非正态随机变量的情况精度较低;JC法迭代次数较多，而且当极限状态为高次非线性时，其误差较大;Monte-Carlo法虽可以克服这个缺点，但计算效率较低，一般用来验证其他方法的正确性:响应面法无论对于线性还是非线性功能函数都具有较高的精度，而且可用在极限状态方程未知的情况;几何法一般经过几轮迭代后即可达到满意精度，大多数情况下计算效率优于JC法，并可同时求出可靠指标和设计验算点的值。在文章讨论中，对于极限状态方程未知，而Monte-Carlo法计算量较大，故采用响应面法和几何法的结合方法，下面对响应面的国内外研究作简单介绍。
在国外，Faravelii[10]建立了以试验设计为基础的响应面方法。Wong[11} 1z]提出了利用二水平因子响应面法与有限元相结合的响应面方法，包括随机变量的交叉项，并分析了边坡的稳定性和动力结构的随机效应。Buche:与Bourgun[ 13]建立的迭代插值技术具有很好的效率。Schiieller[14]等探讨了二次多项式响应面方法的精度问题。Raj ashekhar和Ellingwood[ls]提出了插值技术的自适应迭代过程响应面方法。Liu等[16]将其推广应用到飞机可靠度分析中。尽管Raj ashekhar和Ellingwood利用自适应迭代推广了Bucher与Bou rgun所建立的响应面方法，并经系统证明了方法对某些问题的有效性，但事实上由于抽样中心可能来自外插，且把拟合退化成插值，迭代响应面波动较大，收敛不稳定。为此，Kim和Na[1']进一步通过将抽样点向线性响应面上投影，使之尽量靠近响应面，加快了方法的收敛性。在此基础上，Zheng和Da[ls]进一步研究了二次项的影响。同时，Chowdhury[ 19]采用有理多项式技术来模拟隐式功能函数对随机变量的偏导计算，从本质上讲也应该属于一种响应面方法，因为可靠度分析中只使用功能函数的一阶偏导，所以可以从N条响应面的法线来拟合响应面。
在国内，许多学者对响应面方法用于结构可靠度分析进行了研究。文献[zo]引进有限元二次水平因子响应面法分析了铁路明洞的荷载效应。文献[[21]提出了一种与结构可靠度分析几何法相结合的响应面方法模拟功能函数不能够明确表达的可靠度分析问题。文献[[22]采用响应面法与有限元数值模拟相结合分析了地下岩体空间的可靠性。文献[[23]提出了基于界面元模型的响应面方法及其结构静动力可靠度计算。文献[[24]在自适应过程中采用加权逐步回归对响应面进行拟合，有效解决了响应面中平方项和交叉项的取舍问题。文献[25烤旨出了响应面方法的精度一直悬而未决。考虑响应面多项式的拟合精度问题，文献[[26]提出了基于有限元数值模拟、BP网络拟合响应面和可靠指标优化计算的可靠度计算方法，有效的模拟了系统输入和输出的非线性关系。文献[[27]用响应面方法替代摄动法以提高计算效率，对结构稳定性进行了非线性随机分析。文献[[ZS,29]利用响应面方法分析了斜拉桥的随机效应和可靠度。由于有理多项式的数值计算功能，文献[[30, 31]采用其进行了边坡的可靠性问题。针对文献【19, 30, 31]计算边坡稳定本质上是在均值点可靠度指标一次近似，文献[[32]采用有理多项式计算了工程结构在设计验算点的可靠度指标，文献[33]采用单响应面法进行模拟研究，文献[[34]中精度控制由极限状态方程控制及变f响应面法，文献[[3}, 36]提出用插值点逐步替代距离极限状态曲面最远的点直至收敛到给定的精度要求。
综上所述，用响应面计算结构可靠度的方法中主要体现在其具体工程的应用、二次项的取舍、精度的控制、收敛性、响应面功能函数的选择以及如何减少由实验或有限元计算响应面功能函数值的计算量而提高计算效率等。在本文中，针对弹塑性结构的可靠度计算，由前面所述的快速算法计算响应面功能函数的值，以提高计算效率，
再结合几何法求可靠指标和验算点，直到满足给定的精度要求。
1.3本文主要工作
本文以弹塑性有限元方法为基础，用已求解样本信息求未知相似样本为思路，提出了一种新的快速计算弹塑性结构的方法，并将此法应用到用响应面法分析结构可靠
度中。主要的内容如下:
第一章简要阐述论文的研究主题、背景和意义，回顾了国内外的研究现状，明确论文所做的主要工作。
第二章简单介绍有限元基础即有限元计算步骤、等参单元、高斯积分等和弹塑性有限元理论即弹塑性小变形理论、非线性方程组的解法、荷载分级、弹塑性增量方法理论、初应力法和残余力的计算理论等。
第三章介绍了本文中编制的程序的实现过程、结构图、主要的子程序以及实例验证，并和已有的软件ABAQUS的计算结果进行了比较，说明了编制的程序是正确的。
第四章详细介绍了所提出的快速算法的理论即用已求解样本的位移、弹性极限荷载和位移以及待求样本的弹性极限荷载和位移等来预测待求样本的位移，以此位移为基础进行迭代计算。数值结果表明，快速算法的思路是正确的，能用在结构的重分析中。
第五章简单介绍了结构可靠度和可靠指标的概念及可靠度的计算方法，并将所提出的快速算法应用到响应面法分析结构可靠度中。数值结果表明，快速算法能减少迭代量，提高计算效率。
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摘要 6-7
Abstract 7-8
目录 9-11
第1章 绪论 11-15
1.1 研究意义 11
1.2 研究现状 11-13
1.3 本文主要工作 13-15
第2章 有限元与弹塑性理论 15-45
2.1 有限元基础 15-22
2.1.1 有限元计算过程 15-16
2.1.2 等参单元 16-21
2.1.3 高斯积分 21-22
2.2 弹塑性有限元理论 22-45
2.2.1 弹塑性小变形本构关系 22-30
2.2.2 非线性方程组的解法 30-38
2.2.3 弹塑性有限单元法 38-45
第3章 弹塑性有限元实现 45-58
3.1 实现过程 45-46
3.2 程序实现 46-53
3.2.1 程序结构图 46
3.2.2 程序简介 46-53
3.3 实例验证 53-58
3.3.1 ABAQUS计算结果 54-57
3.3.2 程序计算结果 57
3.3.3 比较 57-58
第4章 快速算法 58-68
4.1 快速算法理论 58-60
4.2 快速算法实现 60-64
4.2.1 结构图 60-61
4.2.2 程序简介 61-62
4.2.3 验证 62-64
4.3 Timoshenko梁问题验证 64-68
4.3.1 理论 64-66
4.3.2 实例验证 66-68
第5章 快速算法在可靠度计算中的应用 68-80
5.1 结构可靠度基础 68-75
5.1.1 结构可靠度概念 68-70
5.1.2 可靠指标 70-72
5.1.3 可靠度计算方法 72-75
5.2 快速算法在可靠度计算中的应用 75-80
5.2.1 理论 75
5.2.2 实例 75-80
结论 80-81
致谢 81-82
参考文献 82-85
攻读学位期间发表的学术论文 85
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