本文是一篇土木工程论文，本文采用局部域径向基函数配点法研究牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题。首先介绍了局部域径向基函数配点法的改进、牙齿基础理论和牙齿模型的构建过程，而后将算法应用于模拟正常牙齿、龋齿以及充填修复后的牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题，验证了局部域径向基函数配点法用于分析牙齿的有效性，且计算结果符合临床实际。
第1章 绪论
1.1 研究背景及研究意义
牙齿咬合面的受力问题属于口腔生物力学的研究范畴[1]。研究牙齿的受力特点及其应力分布状况，对牙齿疾病的发生原理、病因分析、治疗指导、牙体修复以及正畸矫正等具有重要的指导作用[2]。因此分析牙齿的受力问题在临床方面具有非常重要的意义。
龋齿是近现代常见的口腔疾病，且发病率极高，因此，龋齿治疗方法逐渐成为口腔医学的研究重点。在临床中，医生常用的龋齿治疗方法有药物治疗、充填治疗以及根管治疗等[3]。充填治疗需采用复合树脂等材料对龋齿进行充填修复，而根管治疗则需清除感染的牙髓组织之后严密封闭根管[3]。对于上述龋齿治疗方法，不同的充填材料、龋齿孔洞的大小和开髓后窝洞扩大的情况，都会使得牙齿对于咬合力的力学响应不同。因此，医生在临床上通常会面临一系列的实际力学问题。然而医生在进行临床治疗时，主要是根据经验选择窝洞的形状和大小，这给手术的成功率带来了很大的不确定性。为了提高手术的成功率，医生在手术前需对牙齿咬合的受力情况进行分析，进而为患者规划出最佳的手术治疗方案。
牙齿咬合表面受力问题的分析目前主要采用的研究方法为试验法和数值模拟法。试验法是通过使用测量仪器进行力学实验来对牙齿进行模拟研究。该方法能够得到牙齿的各种力学参数，例如弹性模量、剪切模量、泊松比等，还可以对牙齿的简单受力进行实验模拟。然而，由于实验仪器和试验条件的局限性，试验法在对牙齿的复杂应力进行研究时，效果并不理想。与之相比，数值模拟法是通过借助计算机来求解其对应的数学模型，从而求出所需的近似解，因此不受试验条件限制。并且，随着计算机的不断发展和进步，数值模拟技术被更广泛地应用于现代化工业设计和生产中。因此，使用数值模拟方法来对牙齿的各种受力状态进行模拟是切实可行的。由于牙齿模型具有复杂的边界形状，研究牙齿模型的关键就在于如何对复杂边界进行处理。在已有的文献中，学者们对牙齿做了大量的数值模拟研究，但主要采用的数值模拟方法为有限单元法[2]。
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1.2 研究现状
1.2.1 牙齿的研究现状
与国内相比，国外对于口腔生物力学的研究起步较早，自20世纪50年代初，学者们就开始对口腔生物力学进行研究[1]，主要集中于对牙体及牙周组织的生物力学特性进行研究，测得了抗拉强度、抗压强度、弹性模量以及泊松比等。并通过结构力学的方法得到了固定牙齿受力时的支反力分配比例。
牙齿表面形状相当复杂，国外学者研究牙齿所采用的数值模拟方法主要为有限单元法。1987年，Williams等[14]将有限元分析应用于修复后的牙齿研究，沿倾斜的牙齿咬合面施加100N的荷载，测得牙釉质的最大应力为5.4MPa，并测得汞合金材料修复体的最大应力为5.35MPa，这表明断裂和变形不大可能从修复体扩散到咬合面。1991年，Hickman等[15]将有限元分析应用于复合树脂修复的前臼齿，模拟牙本质和复合树脂粘结处从完整到破坏的过程，在此过程中牙尖运动了6.98~12.53μm。由此可得，在临床中牙本质的粘结可能会失效。1996年，Winkler等[16]采用有限单元法分析充填体、三级水平增量和三机楔形增量三种充填技术在复合树脂材料与牙齿聚合过程中产生的瞬间应力，并得出了瞬间应力超过最终应力这一结论。2002年，Ausiello等[17]采用三维有限元对树脂材料修复的牙齿进行建模，分析修复中复合材料和粘合剂刚度对聚合收缩和收缩应力的影响，确定了最佳的粘合剂层厚度，进而在实现修复美观的同时实现最大的应力释放。2004年，Geramy等[18]采用三维有限元建立三种种植体支撑的单下颌第一磨牙的有限元模型分别为：3.75mm标准直径种植体、5mm宽直径种植体、双标准直径种植体，每个模型分别施加大小为35N和70N的荷载且方向为平行于垂直轴和与垂直轴成15°角两种，比较两种荷载下沿中远端、颊舌和上下三个主轴方向的位移。当牙冠的颊尖顶端或远端边缘嵴处承受荷载时，5mm宽直径种植体支撑的牙冠的中远端和颊舌位移较3.75mm标准直径种植体支撑的牙冠减少了约50%，双种植体支撑的牙冠的中远端位移最小；当牙冠的偏心位置承受荷载时，双种植体支撑的牙冠的位移最小。
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第2章 牙齿的弹性力学基本理论
2.1 引言
对于弹性力学问题，包含下列五个基本假设[75]：
（1）连续性假设：物体介质充满于物体体积，无任何空隙，物体内的物理量（如应力、应变、位移等）是连续的。 （2）完全弹性假设：引起物体发生形变的外界因素消失后，物体完全恢复原状且无任何剩余变形，即服从胡克定律——应变与引起应变的应力呈线性关系。 （3）均匀性假设：物体由同一材料组成，即各个位置的弹性常数相同。 （4）各向同性假设：物体内任意一点的弹性在各个方向均相同，即弹性常数不随方向改变。 （5）微小应变和位移假设：受外界因素影响后，物体内各点的位移远小于物体尺寸，因此应变和转角皆小于1。
牙齿由牙釉质、牙本质以及牙髓等部分组成，各部分材料的力学参数有所差异，而本文拟对牙齿作初步分析，因此，为方便起见，将牙齿视为满足弹性力学五个基本假设的弹性材料。
本章主要内容安排：2.2节介绍正常牙齿的基本理论，2.3节介绍修复后牙齿的基本理论，2.4节介绍径向基函数配点法。
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2.3 充填修复后的牙齿的基本理论
本文牙齿视为均匀性弹性材料。1.1节中提到，在临床中，常用的龋齿治疗方法有药物治疗、充填术以及根管治疗等，而充填术是最常用的龋齿治疗方法。充填术是指采用复合充填树脂等材料对龋齿进行充填修复，因此，修复后的牙齿将会由两种材料组成，包括充填体和剩余牙体组织。因此，对修复后牙齿的分析研究就需要考虑两种材料的影响。
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第3章 几何模型的构建与局部域的配置点选择 ................................ 27
3.1 引言 ........................................ 27
3.2 三维牙齿模型 ....................... 27
第4章 正常牙齿与龋齿在真实咀嚼情况下的受力问题 .................... 36
4.1 引言 ...................................... 36
4.2 牙齿形状边界有解析解的数值问题 ................... 36
第5章 充填修复后的牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题 ................ 48
5.1 引言 ............................... 48
5.2 正方体上表面受均匀荷载的问题 .................. 48
第5章 充填修复后的牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题
5.1 引言
查阅以往文献中关于龋齿的危害性描述，并结合第四章的研究结果，证明龋齿会导致牙尖、嵴、窝、近远中颊尖舌斜面内侧和牙颈部的应力集中向龋洞表面转移。若龋齿得不到及时治疗，则在人咀嚼时不断承受咬合力容易造成牙齿开裂和内部折断等问题。因此，对龋齿进行有效治疗是十分必要的。对于龋齿形成初期即浅龋，龋坏很浅，没有形成龋洞，一般采用药物氨硝酸银治疗，可防止龋齿持续扩展成龋洞；对于已经形成龋洞但龋洞深度尚未波及髓腔的龋齿，一般采用充填术的修复方法；对于龋洞深度已经扩展至髓腔导致牙髓炎或根尖周炎的龋齿，则需要进行根管治疗后采用桩冠修复、全冠修复、嵌体修复以及高嵌体修复等[87]。
充填术是临床中龋齿主要的治疗方法之一，充填术在治疗过程中会产生一系列力学问题，例如窝洞的大小、不同的充填材料和修复后的牙齿形状等均会对牙齿咬合时牙齿内部的应力造成影响，进而影响牙齿的正常工作。本章主要研究使用不同材料充填修复的牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题，进而找到适合作为龋齿充填修复的材料，为龋齿提供合适的治疗方案。
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第6章 结论与展望
6.1 结论
本文采用局部域径向基函数配点法研究牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题。首先介绍了局部域径向基函数配点法的改进、牙齿基础理论和牙齿模型的构建过程，而后将算法应用于模拟正常牙齿、龋齿以及充填修复后的牙齿在真实咀嚼情况下的受力问题，验证了局部域径向基函数配点法用于分析牙齿的有效性，且计算结果符合临床实际。具体结论归纳如下
（1）CBCT扫描结合MATLAB程序构建牙齿模型，对边界配置点进行重构，并成功应用于力学计算。确定局部域选择的最佳影响半径为R2d。采用直接法与虚拟点法结合的方式求解Neumann边界条件下的一阶偏导数，将三维情况下的偏导数计算问题简化为一维情况，保证了算法的稳定性。
（2）承受垂直向荷载时正常牙齿的最大应力位于牙颈部；承受侧向荷载时正常牙齿的最大应力位于近远中颊尖舌斜面内侧；承受垂直向荷载时龋齿的最大应力位于龋洞表面。对比正常牙齿，龋齿存在的情况下，会使最大应力位置由牙齿表面转向龋洞表面，易造成牙齿开裂和内部折断，严重危害牙齿健康。
（3）复合树脂充填修复后的牙齿承受垂直向荷载时最大应力位于充填体和剩余牙体组织接触的边界上，远大于牙尖、嵴、窝和牙颈部应力集中处的应力值；银汞合金充填修复后的牙齿承受垂直向荷载时最大应力位于牙颈部，与牙尖、嵴、窝和牙颈部应力集中处的应力值相差不大。因此，从力学响应的角度来看，本文的牙齿模型更适合使用银汞合金进行充填修复。
参考文献（略）