本文是一篇土木工程论文，本文主要对一维以及二维强、弱不连续的求解过程进行了推导，同时在MATLAB里对其进行编程实现，并用于不连续问题的求解，通过与解析解以及ABAQUS求解结果的对比，验证了该高阶单元的合理性以及求解的准确性。
第一章 绪论
1.1 研究背景和意义
随着土木工程结构形式的多样化和复杂化，结构的安全性能以及工作性能越来越依赖于材料的力学性能，而材料内部固有的微小裂纹以及夹杂一直是影响材料力学性能的重要因素，由裂纹扩展导致的结构失效也是工程中常见的一种结构破坏形式[1]，因此，对具有夹杂以及裂纹的材料的力学响应计算具有重要的实际意义。一般来说，这些问题都可以概括为不连续问题。
不连续问题在土木工程领域中的研究始于二十世纪初，在这一时期，工程实践中越来越多的断层、裂缝、空隙等不连续问题开始受到学者们的关注，并且它们的影响也开始逐渐被重视[2]。不连续的出现会使土木工程结构的应力和变形分布不均匀，进而影响结构的稳定性以及安全性。早期，对于不连续问题的研究，学者们通常采用试验、经验或是半经验的方法。经验方法虽然简单易于使用且成本低，但是其适用范围有限，精确性也较差。虽然试验方法较为可靠，但是需要耗费大量时间和资源，同时也受到试验设备以及试验条件的影响。尽管半经验结合了理论以及试验的优点，但其预测结果可能出现偏差且适用范围存在局限性。
在过去几十年中，计算机技术的出现大大促进了数值方法的发展。如今在不连续问题的研究中，越来越多的学者开始采用数值模拟方法来探究其影响。数值模拟方法可以模拟不连续的形态和分布，以及其对结构性能的影响，能够提供精确的数值预测，同时也可以减少试验的时间和成本。常用的数值模拟方法包括有限元方法[3]、边界元法[5]、离散元法[7]等。这些方法不仅可以研究不连续问题的力学本质，还可以考虑材料的本构关系和力学响应的非线性效应，从而更加准确地模拟结构的行为。此外，计算模拟方法还可以用于优化设计和结构参数的选择，从而提高结构的安全性和工作性能。一般情况下，这些方法都可以用计算机模拟软件进行高效的数值求解，这大大提高了研究效率。同时，计算机的引入还使得数值方法的求解精度得到了大幅提高，因此在工程实践中，我们得以对更加复杂的结构进行分析。
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1.2 研究现状
1.2.1 扩展有限元方法
扩展有限元法（eX tended Finite Element Method，简称XFEM）是一种近年来发展起来的计算力学方法。它是在有限元方法的基础上发展而来的，可以用于模拟复杂的物理过程和几何形状。XFEM不需要事先将模型离散化成三角形或四面体网格，而是在需要的位置上使用富集函数来描述模型的几何形状和边界条件，从而实现更精确的计算和更高的计算效率。
扩展有限元法的发展可以追溯到20世纪末期，当时，德克萨斯大学的Babuska和Melenk [20]等人提出了一种称为单位分解法（Partition of Unity Method，简称PUM）的方法，用于处理非连续的解析域。该方法的基本思想是将问题域分成多个小区域，然后在每个小区域内使用不同的基函数，从而将整个问题域的解拟合成一系列不连续的基函数，通过在分界面处施加连续性条件，将不连续的解粘接在一起。虽然这种方法在解决复杂几何体的问题时效果显著，但由于需要在每个小区域内使用不同的基函数，因此在计算效率方面存在一定的问题。
在PUM的基础上，Belytschko[12]等人于1999年提出了扩展有限元法，该方法在原有PUM方法的基础上引入了裂纹扩展模型，并使用Heaviside阶跃函数来描述裂纹的位置和形状。因此，XFEM方法不需要创建于裂纹匹配的单元，而是可以直接在需要的位置上插入富集节点，从而提高了不连续问题的求解效率。此外，由于XFEM方法不需要将裂纹与网格单元对齐，因此可以更好地描述非连续的裂纹行为。随着XFEM方法的发展，越来越多的研究者开始关注它在复杂几何体和裂纹扩展问题中的应用。许多研究者对XFEM进行了各种改进和扩展，以应用于不同的工程问题和物理场景。在应用方面，XFEM已经被广泛用于分析结构力学、岩石力学、复杂流体力学、地球物理学、材料科学等领域[23]。
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第二章 富集函数的构造方法和P型有限元法
2.1 扩展有限元法
基于单位分解法（Partition of unity method，PUM），美国西北大学的T.Belytschko等人对标准有限元法进行了改进，提出了扩展有限元法。扩展有限元法通过在标准有限元法中引入富集函数来表示不连续性以及裂纹尖端的奇异性，从而将网格划分与裂纹进行解耦。扩展有限元法在解决裂纹扩展问题方面具有一定的优势，已经得到了广泛应用和研究。
假设有如图2.1所示的不连续问题，为了计算方便，假设局部坐标系与裂纹尖端对齐，如图所示。
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2.2 界面富集广义有限元法
在扩展有限元法思想的基础上，Soheil Soghrati和Alejandro M. Aragón等人在2011年提出了界面富集广义有限元法。在该方法中，广义自由度（generalized degree of freedom）并不被创建在在有限元法的原始节点上，而是在不连续与单元边缘相交处创建节点（interface nodes）。该方法主要被用来求解不连续梯度场的问题。
2.2.1 界面富集广义有限元法的基本原理
假设有如图2.3所示的弱不连续问题，其中单元（1）和单元（2）具有不同的材料性质，在有限单元中，节点按照逆时针顺序进行编号。
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第三章 一维高阶不连续富集有限元法 ...................... 21
3.1 一维高阶杆单元 ...................... 21
3.1.1 问题描述 ..................... 21
3.1.2 一维均匀节点的有限元法求解 .................. 21
第四章 二维高阶不连续富集有限元法 ...................... 37
4.1 二维弱不连续问题 .......................... 37
4.1.1 问题描述 .......................... 37
4.1.2四边形单元的弱不连续问题求解 ................... 38
第五章 结论与展望 ........................ 55
5.1 主要结论 ................. 55
5.2 展望 .......................... 56
第四章 二维高阶不连续富集有限元法
4.1 二维弱不连续问题
4.1.2四边形单元的弱不连续问题求解
4.1.2.1位移函数的离散
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对于形函数的选取，可以选择均匀、非均匀节点插值或者阶谱单元形状函数，根据第三章对一维问题的求解，可以知道，阶谱单元在形状函数的求取上更为方便，且不存在求解结果不稳定的问题，因此对于二维不连续问题，本文选择阶谱单元形状函数。如在第三章所介绍，高阶形函数的取法并不唯一，只要在两端节点处的函数值为0的任意高阶函数都是可能的选择。
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第五章 结论与展望
5.1 主要结论
本文主要对现有的求解不连续问题的有限元方法进行了回顾，结合不连续富集有限元法以及P型有限元法的相关理论知识，建立了一种允许裂纹穿过的高阶不连续场单元。相比于扩展有限元法，不连续富集有限元法的富集函数求取方法更为简单且边界条件的施加与在标准有限元法中一样简单。本文主要对一维以及二维强、弱不连续的求解过程进行了推导，同时在MATLAB里对其进行编程实现，并用于不连续问题的求解，通过与解析解以及ABAQUS求解结果的对比，验证了该高阶单元的合理性以及求解的准确性。从上述的主要工作中得出了以下结论：
（1）虽然扩展有限元法（XFEM）能够对不连续问题进行求解，但是其求解过程相较于不连续富集有限元方法（DE-FEM）较为繁琐。本文基于DE-FEM的基本思想，结合P型有限元法的理论知识，建立了一种允许裂纹穿过的高阶不连续场单元，该方法的富集函数为拉格朗日形状函数的线性组合，因此求取更加简单，且边界条件的施加更加方便。
（2）本文首先对一维不连续问题的求解过程进行了推导，给出了对于不连续问题，选用三种不同高阶有限元节点模式下的具体求解方法，即均匀插值节点，非均匀（Lobatto）插值节点以及阶谱P型有限元法。最后通过与解析解的对比，验证了其求解准确性。并将阶谱P型有限元法的求解结果与H型有限元求解结果分别与解析解进行了对比，证明了本方法的求解结果更加理想。
（3）对于高阶不连续单元，阶谱P型有限元法相较于其他两种插值方法（均匀插值节点以及非均匀插值节点）更优。首先，阶谱P型有限元法的形状函数求解更为简单，且当插值函数的阶数增加时，不需要对前面的形状函数重新进行计算，而只需要计算相应的高阶项形状函数即可，这会在一定程度上节省计算空间。其次，不同于均匀节点可能会出现龙格现象，阶谱P型有限元法的求解结果也较为稳定。最后，在阶谱P型有限元法中，对富集函数的处理跟在节点有明确物理意义（即采用均匀或非均匀插值点的高阶有限元法）一样方便。
参考文献（略）